Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
dEr/dt + 4it oeEr = - (N^UXr1) exp (- r/X). (9)
Отсюда
tit \
- (e//r4t) tr'b j exp j - 4я j <Je (f) dr (/') dt'.
О l Г
(10)
Здесь, как уже указывалось, ае - электронная проводимость воз-духа. Обозначая подвижность электрона буквой получим 1см. (3)]
t
сШ V /" .
о, - т<П' = -е-'* [ ЛГ0 (Г) exp {у (Г - 0) dr. (11)
4 пгЧ J
о
В выражение для Ег входит интеграл от ое по времени, в котором можно свести двукратное интегрирование к однократному, что дает
4л
t г t
j ае dr = ^ jjVo (П (1 -ехР (V (Г~ О"
? Lo
- j Nq (П (1 ¦-exp (Y (Г -О" da (12)
77
Чтобы найти Ег надо задаться явной зависимостью от времени. Относительно вида этой зависимости можно высказать следующее. Сначала, когда цепная реакция еще только развива-ется, весьма быстро нарастает. После достижения макси-
мума Л\(7) убывает, но значительно медленнее, чем происходило нарастание.
Можно задаться зависимостью
Как видно и.^ дальнейших вычислений, поле ?г весьма мало чувствительно к величине р, если только выполнено простое неравенство
1/у - время прилипания электрона к молекуле - составляет примерно 4-10-7 сек (см. [2]), величина же 1/(1 больше, что и дает основание написать неравенство (14).
Подставляя зависимость (13) в формулу (12) и выполняя интегрирование, находим
В экспоненциальные функции этого выражения входит вели-чина
ей>Иу ехр (-г/Л)?"г2р(у-р).
Полагая Л/р равным полному числу квантов, например 1022, v, т. е. число вторичных электронов на у-квант, -¦ 3-104, ~3-10*c,u, to,.. ~ 2,5X10* CGSE, находим, что выражение в показателе имеет порядок 4*10\ т. е, очень велико. Но отсюда следует, что основной вклад в интеграл (15) дают большие значения t\ когда функция схр(-pf') меньше всего, потому что она входит в интеграл с отрицательным знаком (отсюда понятно, почему не существенна фаза нарастания потока квантов). Это верно в том случае, когда выполнено неравенство (14), т. е. когда экспонента ехр (-уП меньше ехр (-р f). Тогда экспонента ехр{-у?'} вообще не сказывается на величине интеграла и выпадает из окончательного выражения для ЕТу если t не слишком мало. В результате интегрирования получится
#0 (0 = Лехр<- ^}.
(13)
Р< Y-
(14)
| Лехр(-тО
Y -Р
О
X
(15)
Ег - Е - (у-P)//wev.
Аналогичную оценку получил О. И. Лейпунский.
(16)
78
Итак, полное число у^квантов и их угловое распределение действительно не сказываются на величине остаточного поля Еу если Только Л/р достаточно велико. Но это практически всегда выполнено.
Е означает радиальное поле. Оно не обращается в нуль в начале координат. Поэтому плотность заряда имеет в начале координат особую точку:
р = --таЕ=-?-.
4лг'1 дг 2 кг
Но эта особая точка не дает никакого вклада в полный заряд, так как при интегрировании по объему р множится на rldr. Физически появление такой особой точки вполне оправдано, потому что в начале имеет особую точку J (г, t). Численная оценка дает для Е порядок величины около 2 V 1см.
Время образования начального поля порядка 1/р, что можно принять около одной микросекунды. Период электромагнитных колебаний примерно в 10 раз больше. Поэтому весь процесс можно разбить на две стадии: первая стадия - возникновение поля, рассмотренное выше, и вторая стадия - затухающие колебания, вызванные полем.
Во второй стадии проводимость воздуха - ионная. Соответственно этому затухание колебаний значительно меньше, чем если бы оно было вызвано электронной проводимостью.
Число ионов непрерывно уменьшается вследствие их рекомбинации. Процесс рекомбинации следует учитывать вместе с ионной проводимостью, потому что константа рекомбинации связана с подвижностью ионов соотношением (см. [2])
b ^ (о)+ -'г o>J - 4лда. (17)
Оно удовлетворительно согласуется с опытом яри атмосферной плотности воздуха.
Найдем теперь выражение для ионной проводимости воздуха в зависимости от координат и времени. Для плотности ионов одного знака имеем dn/di-~bn2,, откуда
Здесь пй-начальное число ионов в см3. Считая, что угловая зависимость вылета квантов выражена слабо, запишем
п= 1/{М + (1 +!costf)/"0].
Ограничиваясь величинами первого порядка малости по ?, находим выражение для электропроводности
2* Электромагнитные колебания
(18)
а = не со =
Ы + 1/п0
(19)
79
Здесь Па определяется равенством
rt0-(4v/4np^ji(rA), (20)
где
|г (л:) = дГ2!?"* (21)
Таким образом, в начальный момент поле радиально симметрично и дается равенством (16), а электропроводность зависит от угла. Поэтому соответствующей асимметрией будет обладать и ток.
Электропроводность поведет к ослаблению начального поля со временем. Удерживая только член сг", имеем
дЕ0г/д(^4ло0Е0Г = 0г (-2)
где индекс 0 при Епг напоминает о том, что в этом приближении поле считается центрально симметричным. Интегрируя (22), находим с помощью (18)
t
Еог Е ехр
J 4na0dt' = ?ехр j - ^p-ln (b 1 /"") |о |. (23)
Если понимать равенство (17) буквально, то следует заменить коэффициент при логарифме на 1. Мы положим, однако,
4 лею /Ь = а, (24)
где а можно определить из опытных данных. Таким образом,
Eor = E(btn0 + ])'a. (25)
Влияние рекомбинации приводит к степенному затуханию поля вместо экспоненциального, как это было бы при постоянной во времени концентрации ионов. Малая по предположению величина cTiCosO будет умножаться на ?ог> что дает неоднородность в уравнениях Максвелла, приводящую к появлению асимметричного тока. Конечно, предположение о малости асимметрии вызвано только расчетными причинами. При произвольной степени асимметрии пришлось бы численно интегрировать уравнения Максвелла с тремя переменными (радиус, угол и время), что неизмеримо труднее, чем (тоже численно) определять величины, зависящие только от радиуса и от времени.
