Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
uptCpT-^-S = -y4x^-iSo- (15)
Со стороны низких температур, когда поток S стремится к 50> кривая температуры приближается к нижней прямой
=-Ах, (16)
а со стороны высоких температур, при к верхней прямой *
wptCp7'=-Ax+Sq. (17)
В "прозрачной" области \х\>\хг\> где можно пренебречь адиабатическим охлаждением, решение уравнений совпадает с решением, полученным в разделе 2. Следует только писать не частный интеграл ())), проходящий через точку т=0, Г=ТЙ1 а общий - проходящий через произвольную пока точку (тй; Т2). Если экстраполировать это решение вплоть до температуры прозрачности 7\, то получим прежнюю связь потока с темперarvpofi Tz:S2 = 2oT}.
В "прозрачной" области |*|<|яв| при низких температурах излучательная способность очень мала, поток является односторонним: все кванты двигаются только "вперед*, выходя из области с достаточно высокой температурой. При этом интегральные выражения (1.13), (1Л4) принимают вид
S=cUl2=S^\ (18)
3 В режиме без адиабатического охлаждения условие 5-^0 со стороны высоких температур было эквивалентно условию, что температура const. Здесь
же температурный градиент не только отличен от нуля, но стремится к константе при высоких температурах, поэтому для выполнения условия S-*0 яри Т-^оо и существования режима необходимо, чтобы 1->-0 достаточно быстро при T-+QO. В задаче о слабой ВО это условие выполнялось автоматически благодаря использованию аппроксимационной формулы (1.23).
72
Экстраполяция этого решения, справедливого при Up^ U, к точке х2, где и2^=и^ также приводит к потоку S2 = 2aT2\
По определению, температура прозрачности соответствует тому месту в волне, в котором скорость лучистого теплообмена d,S/dx меняет знак, т. е. обращается в нуль. Однако ясно, что эта температура весьма близка к той, при которой скорость лучистого охлаждения частицы падает до величины порядка ско-рости адиабатического охлаждения. В самом деле, как уже было сказано выше, вследствие резкой температурной зависимости коэффициента поглощения, которому пропорциональна скорость лучистого охлаждения, уже небольшое адиабатическое снижение температуры резко понижает скорость лучистого теплообмена. Поэтому температуру прозрачности Т2 можно определить из условия равенства скорости лучистого охлаждения, найденной по экстраполированному решению в "непрозрачной" области, и скорости адиабатического охлаждения" А.
Воспользуемся для вычисления скорости лучистого охлаждения в точке с температурой Г2 формулами (1), (3), (8), (9),
Таким образом, мы приходам к трансцендентному уравнению для определения температуры прозрачности через скорость ВО или через величину верхней температуры ВО 7\:
Благодаря экспоненциальной зависимости 1{Т) температура прозрачности лишь логарифмически зависит от амплитуды ВО, которая характеризуется ее скоростью или верхней температурой, и от адиабатического охлаждения.
Ясно, что определенная уравнением <20) температура с логарифмической точностью равняется "истинной" температуре прозрачности, которая определяется условием равенства нулю лучистого теплообмена, что и обосновывает возможность сделанного приближения. Геометрически условие (20) означает, что мы экстраполируем решение со стороны "непрозрачной" области до тех пор, пока наклон температурной кривой dTldx не совпадает с наклоном прямой (16), к которой снизу приближается температурная кривая в "прозрачной" области (см, рис. 4).
Остается еще определить положение нижнего края ВО, т. е. координаты хг и т2. Для этого вычислим приближенно оптическую толщину т, соответствующую какой-нибудь точке х в "прозрачной" области. Замечая, что в пределе низких темпера-
(ТЛО):
з тсцт2 з______
8 ЦТ2) 4 /(Ту^/Гз -1)
(19)
8 At(TJ _ 4 4/(r.,)(rt/A~ 1) j
э mcpTt 3 от?
(20)
73
тур поглощение потока ничтожно (S"S0) и кривая температуры Т(х) почти совпадает с нижней прямой (17), получим х г т
X - - _ {dx dT r^UVlCp Г dT С2П
J / (Г) "' } dT l (T) ~ Л J / <T)' 1
DO 0
Здесь имеется в виду "точная" формула Крамерса для длины пробега вместо приближения (1.23), согласно которой / = оо при Т=0. Подставляя в (21) длину пробега по формуле (1.3) и принимая во внимание, что при низких температурах экспоненциальная зависимость гораздо резче степенной, найдем в результате приближенного интегрирования
_, Ир *срт kT \x\kT .
А1(Т) / ЦТ) 1 ' ^
По самому своему выводу эта формула справедлива при т*С1. Если отнести ее к нижнему краю ВО, т. е, к точке, где Т=Т2, получим с помотцыо (20)
т^МТУЗ/. (23)
Поскольку в воздухе /=14 eV, а Т2^,10000°, т^0,164 оказывается достаточно малой величиной, и выражение (23) можно рассматривать как оптическую толщину нижнего края ВО.
Геометрическая координата нижнего края ВО, которая со-гласно (22), (23) равна
Ы=иР1с9Тг1А=*иЦТг)9 (24)
представляет собой при этом расстояние, на котором температура вследствие адиабатического охлаждения спадает от Т<А до нуля.
Как и следовало ожидать, длина пробега, соответствующая температуре прозрачности, как раз имеет порядок этого характерного масштаба, задаваемого величиной адиабатического охлаждения и временем его действия.
