Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
добавляется приближенная связь потока 5 с плотностью энергии излучения 5 U:
S = -VslcdU/dx. (8)
Здесь
U? = 4сг Т*/о (9)
- равновесная плотность излучения, с - скорость света. Мы отвлекаемся от рассмотрения спектрального состава излучения, характеризуя перенос излучения должным образом усредненной по спектру длиной пробега
* Не следует смешивать диффузионное приближение с приближением лучистой теплопроводности, которое представляет собой частный случай, когда истинная плотность U в уравнении (8) заменяется равновесной ?УР.
58
Как будет показано ниже, в значительной части ВО истинна яг плотность излучения U весьма близка к равновесной Uv\ в этом случае, как известно [4], длина пробега усредняется по Россе-лапду. В области охлажденного воздуха U сильно отличается от Vр и длина пробега должна усредняться совсем иначе. Для простоты будем везде пользоваться росселандовым средним* пользуясь тем обстоятельствам, что больцмановскпй экспонент циальный фактор остается в / при любом способе усреднения, а от предэкспонепциального множителя, который, разумеется зависит от способа усреднения, все существенные эффекты в ВО зависят только логарифмически. Росселандово усреднение формулы Крамерса для фотоэлектрического поглощения квантов возбужденными атомами [4] дает после подстановки известных констант -предэкспоненциальный множитель а(Т), который стоит а формуле (3) для длины пробега.
В уравнениях (7), (8) удобно перейти от геометрической координаты х к оптической толщине т но формуле
dr- -dx/lt t - - I dx/lt (10)
отсчитывая т от места, где /=оо, в сторону увеличения погло* щения, т. с. в сторону повышения температуры:
Отказываясь от точного учета углового распределения излучения, ?можно написать и приближенные интегральные выражения для потока и плотности, 'полагая, что все кванты двигаются параллельно оси х "вперед" и "назад":
Коэффициенты при квадратных скобках выбраны так, чтобы формулы (13), (14) давали правильные значения потока с поверхности абсолютно 'Черного тела и плотности внутри черного тела, вдали от границы. Для эффективного учета углового рас-пределения следует пользоваться в этих формулах не истинной, а вдвое уменьшенной длиной 'Пробега, Легко проверить, что выражения (13), (14) удовлетворяют при этом уравнениям (11),
(12) типа диффузионных с коэффициентом диффузии, пропорциональным lU вместо 1/3 в. На верхнем краю ВО, как уже было
6 Вдвое уменьшенная длина пробега означает, что средний косинус квантов, двигающихся "вперед" и "назад", полагается равным 72. Дифференциальные
dSfd*= -c(i/p-t/); S = %cdU/dx.
(П)
(12)
(13)
(14)
59
сказано выше, поток близок к нулю, поэтому одно из граничных условий к уравнению (11), (12) есть
S - 0* (15)
Второе граничное условие должно быть поставлено на границе между поглощающей и абсолютно прозрачной средами, т. е. при т=^0. Это - известное диффузионное условие, согласно которому диффузионный поток на границе с "вакуумом" равен половине кинетического
т = 0, S^cUf % (16)
Интегральные выражения (13), (14) автоматически удовлетворяют этому условию.
3. Слабая волна охлаждения
Рассмотрим предельный случай слабой ВО, в которой верхняя температура Тх лишь немного превышает нижнюю 7V При этом, однако, длину пробега будем считать весьма сильно зависящей от температуры так, чтобы оказались совместимыми два условия: ЦТ*) <g.t(T2) -условие, необходимое для самого существования ВО, и условие Т{жТ?% необходимое для того,
чтобы волну можно было рассматривать как слабую.
Рассмотрение слабой волны представляет главным образом методический интерес; на этом примере благодаря упрощению исходных уравнений удается получить точное аналитическое решение уравнений.
Воспользуемся первым юз указанных в предыдущем разделе приемом и будем считать, что наряду с лучистым теплообменом существует постоянное адиабатическое охлаждение А, так что энергетическое уравнение записывается в форме (6). Интеграл энергетического уравнения (6) содержит константу интегрирования С, которая определяется выбором начала отсчета координаты х, т, е. произвольна (уравнение имеет группу трансляции) :
uPfpT+S^ -Ах+С. (17)
На нижнем и верхнем краях ВО, где поток S стремится к 5г - потоку, уходящему на бесконечность и к нулю, величина ярtcPT асимптотически стремится к двум прямым:
и9хсрТ = - Av-S2 + C2> лг-voo; (18)
u9xcpT - - А* + С, я-* - оо, (19)
сдвинутым по ординате на величину потока, уходящего на бесконечность S2.
уравнения, эквивалентные интегральным выражением (13), (14), известны в астрофизике под названием приближения Шварцшильда [4].
60
Уступ ВО заключен между этими прямыми; наша задача заключается в нахождении положения этого уступа. Воспользуемся теперь условием, что волна слабая. Поскольку явление разыгрывается в узком интервале температур, можно приближенно полагать множитель Uv в уравнениях переноса излучения, которому пропорциональна излучательная способность, постоянным. Очевидно, этот множитель, заключенный в волне в пределах
4аГ5/с< ?/р< AoT\jc,
может быть в силу близости пределов положен равным любому из них. Для определенности будем считать, что С/р = 4оТ//с.
