Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
к R по формуле (27.12), и
_ „„„„„Л
получим
(31.21)
расположенного по отношению к оси г. Задача о таком движении была решена
М. И. Гуревичем в цитированной выше работе.
Обозначим через 8 угол стреловидности (рис. 125) и через (3 угол атаки.
Рассмотрим сперва тот случай, когда угол стреловидности будет больше чем
од, так что наше крыло выходит из конуса характеристик.
Крыло пересекает плоскость (&, tj) по отрезку (АВ) оси \
(рис. 126). Выступающие части будут действовать лишь внутри
соответствующих треугольников характеристик, вне круга радиуса Ilk. В
каждой из областей ACG, AGE, DBH, BHF (см. рис. 126) скорости т/ и
давления р' будут сохранять постоянные значения, причём при переходе
через крыло будут менять знак. Таким образом, на дуге CG и на Дуге HD мы
имеем v'z—wQ. На дуге GE и на дуге HF имеем
v'z — — «»„; на дугах CD и ЕЕ г>' = 0; при этом wQ мы должны
определить через заданные величины: ?J, 8 и vv Обозначим угол
') Эта формула <
>му случаю формулы (29.23) при 60 =
310
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ [ГЛ. I
дуги DH через <з0. Так как при переходе от плоскости (?) к плоскости (т)
углы сохраняются, нам надо решить следующую задачу. Определить
аналитическую функцию /(т) так, чтобы ^ j Re/ = kw0, если 0 < а <
- о0 < о < тс,
0>о>а0 и — т:-)- а0>а> —it.
[ Rе/ = — kwс Далее, на круге е=1:
Re/ = 0, если тс —а0>о>а0 и — тс + а0 < о < - а0. Наконец, на отрезке
действительной оси от е = —1 до e = -j-l: Im/ = 0.
Функцию / можно построить по особенностям. Это будет:
/ = -
-Ш
(31.22) 'о, таким
Величину w0 найдём из краевого условия на крыле (мы использовали
> частично, записав,
1т / = 0). Именно, на крыле (31.24)
СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
егрируя по мнимой оси от i до = — т, df/dx= — dfjdx, получим:
= «А sin o0Im |° In ^ + + = - w0k sin a0. (31.25)
Таким образом, по (31.24)
p'„ — Р'в = 2PlVlK’ действующая на кры
- ztgS
у = 2р1'У1 J J «;^</г = р1©1^а J
О — ztg 8 — tg 5
Если S — площадь крыла (5 = L2 tg 8), то
2 Г*;*
С = 2К = 4»
у p^S Pjtgb
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
/ <«(4 нМ=4[1тт?»;-4 f tt7‘,«+'s)=
_ 2 8®0 Г т2
— k W° Ы / 1 + T2 (,5
-о)(г2_е2»„) •
Интеграл в правой части легко вычисляется и даёт:
_/ Т+* (,2_е-2^)(т2_^„) = ^ (^~ *«») '
каковое в точности совпадает с формулой Аккерета для пластинки
бесконечного размаха ’).
Иначе будет обстоять дело, если стреловидное крыло всё целиком лежит
внутри конуса характеристик (8 < а). Теперь мы должны будем искать
аналитическую функцию, действительная часть которой обращается в нуль на
круге радиуса 6=1 и мнимая часть которой равна нулю на отрезке
действительной оси длины 2Ь. Ясно, что
^ = TTTW’ (31-27)
где 8 — по-прежнему угол стреловидности.
М. И. Гуревич продолжает функцию i/k /(т) на всю плоскость (г) с
разрезами от — оо до—1/Ь, от — до-|~& и от 1 jb до со и даёт
решение в виде
vz + is = B .T,2+L...... (31.28)
V <‘г
где В есть действительная постоянная, которую мы должны найти из краевого
условия на пластинке = Решение легко проверить непосредственно. Чтобы
найти В, используем вновь (31.18) и произведём, как и в предыдущем
случае, интеграцию по мнимому
‘) Пластинка есть частный случай стреловидного крыла (5 = я/2).
j 31j СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 313
радиусу. Получим, как и прежде,
-41т/-й(х-т)л=
= _ 1 Im В (/ -ь *)“ *./ -, _ VI *?
Таким образом,
м.—Ия4)7
Подстановкой s = 6tg<p приведём это выражение к виду
W)b5=_ *?1 rV+l-d-^.sinyi 2 b J [1 — (1 — i4)sin2?] /2
cp^arctgy.
Раскрывая числитель подынтегрального выражения, напишем:
М\ = _** ? ( 64_____________2Й2_______L
' у'й 2b J \ 1 — (1 — b4) sin2 <р]% Vl — (1 — ЬА) sin2 ? ~Г
-j- V 1 (1 — 64)sin2Cf| tfcp.
Д(лг, ?)=.- у у 1—й2 sin2 х dx, F{x, k) — J -
314
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Таким образом, постоянная В найдётся по формуле:
в =-----=-----------------------^—===—j—gy-. (31.;
k \Е (*,. VT=F) + b*F (*„ /1 - И _
Коэффициент подъёмной силы Су запишется по (31.26) в виде:
Су= kvt tgo / < (} + *!)* rf?-
? интеграл, заменим его контурным интеграле
Су = Л», tg 5 f iv'z + is) (1 + ,*)* dx =
= — k%>\ tg В / '..2_t2./J___\ (т=т-тнгг)'
Деформируя контур в круг единичного радиуса с обходом вокруг обоих
полюсов т — ± / по бесконечно малым окружностям и применяя теорию
вычетов, получим:
Cv = ^T-Используя (31.30), получим окончательно
СУ~~~ k 2b2F(<?u YT^b*) + 2E(<pu Vl— b*)—l+b* ' ^31'31^ Таким образом, в
противоположность тому, что имело место в предыдущем случае, отношение
Cyj~~ здесь не является постоянным, а будет зависеть от b и ср, т. е. по
(31.27) и (31.29) от произведения ktgb. На рис. 127, заимствованном из
статьи Гуревича, по горизонтальной оси откладывается величина к tg §, по
вертикальной оси величина — Cyj-у-. До значения ?tg§—1 используем
(31.31), при &tgS> 1 получим постоянную, равную единице (формула Аккерета
справедлива для стреловидного крыла, выходящего за конус характеристик).
Вернёмся к общей пространственной задаче и покажем, как можно найти
