Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений находят решение поставленной задачи.
Уместно напомнить основные понятия и важнейшие этапы получения решения в
методе конечных разностей (подробнее см. А.А. Самарский, 1977).
1.Разностная сетка. Сеточные функции. Прежде всего в области непрерывного
изменения аргумента (или аргументов) строится разностная сетка. Если
аргумент х изменяется на отрезке 0 <х < L, то, разбив этот интервал
точками х, = ih (/ = 1, 2, . .. , N; h > 0) на N - 1 равных частей,
получим равномерную сетку, состоящую из N узлов. Расстояние h между
соседними узлами называется шагом сетки. Часто, однако, пользуются
неравномерными сетками с шагом h,• = х,- - х,_ {, зависящим от номера
узла. Иногда, наряду с целыми точками х,, удобно рассматривать и полу-
целые х i, определяемые как х i = х. + 0,5/7/+ ,. На рис. 44 целые точки
/+- /+ -
2 2
изображены кружками, а полуцелые - крестиками.
Далее вместо функции непрерывного аргумента у(х) на отрезке [0, L] вводят
функцию дискретного аргумента или сеточную функцию у(х,).
В случае/одномерной нестационарной задачи вводят разностную сетку по
временной переменной t: f/+1 = tj + Tj,j = 0, 1, . .. , где т;- - шаг
сетки по времени. Теперь, если в прямоугольной системе координат на
плоскости пространственную сетку построить на оси абсцисс, а временную -
на оси ординат, то множество узлов (х,-, *у), полученных при пересечении
двух систем параллельных прямых х = х" / = 1, 2, .. . , N и t = *у, / =
0, 1, 2, . ..
образуют пространственно-временную разностную сетку. Набор
пространственных узлов (х/, /=1,2,..., /V) при фиксированном/ называют /-
м временным слоем сетки. Узлы X! и xN (/ = U, 1, 2, . ..) называют
граничными узлами.
Непрерывной функции у (х, f) ставится в соответствие сеточная функция
К(*/, tj) = у\. Удобно использовать безындексные обозначения сеточных
функций:
у/= У, y/± 1 = к(±1), у',+' = у. (20.1)
Вопрос выбора разностной сетки в каждой конкретной задаче заслуживает
особого внимания. С одной стороны, ясно, что для наилучшего при-
117
ближения решения дифференциальных уравнений разностными необходимо
строить подробные разностные сетки с большим числом узлов. С другой
стороны, необходимо учитывать, что возможности ЭВМ (оперативная память и
быстродействие) ограничены. И поэтому практические соображения, связанные
с затратами машинного времени, вынуждают ограничиваться разностными
сетками с небольшим числом узлов, так называемыми "грубыми'' сетками. В
вычислительной практике часто используются неравномерные разностные
сетки, которые сгущаются в области резкого изменения
1 2 3 i-1 ? i + f N-1 JV
РИС. 44. Разностная сетка в области непрерывного изменения аргумента.
сеточных функций. Для построения такой сетки необходимо иметь априорное
представление о решении. Кроме того, часто зона с большими градиентами
перемещается по сетке (например, волновой фронт). В этом случае иногда
прибегают к подвижным сеткам (Г.Б.-Алалыкин и др., 1970). Но и такой
прием не является универсальным, так как закон движения особенностей
решения, как правило, не известен. Зачастую удачный выбор разностной
сетки определяется опытом и интуицией исследователя. К вопросу построения
разностных сеток мы вернемся в § 24.
2. Разностная аппроксимация. Важным моментом создания вычислительного
алгоритма является разностная аппроксимация дифференциальных уравнений.
Для аппроксимации дифференциальных операторов используется определение
производной в классическом смысле:
by у(х + Ax, t) - у (х, t)
- = lim ---------. (20.2)
Эх Дл-*о Ах
В случае дискретного аргумента (Ax)min =/?, и поэтому вместо отношения
бесконечно малых вводят отношение конечных разностей, причем используются
три способа аппроксимации производной функции в /-м узле разностной
сетки:
^ = y(x,+ i,ti)-y(xi/tl) = кД 1 -у{ = к(+1> - к (20 3)
*1+1 -*/ Л,-+| Л(+1)
^ _ y(xi,tj)-y(xi_x,ti) _ у\ - У\_ , _ у-у[-1) (20 4)
*/-*1-1 . h
_ rUf+i.f/)-/<*<-!, ty) _ кДн-И-i _ К(+1 > - К(~1 > (205)
' х(+, - х,_| hl+1 +hj Л(+1)+Л
- соответственно правая, левая (односторонние) и центральная разностные
производные.
В свою очередь вторая разностная производная определяется так:
Ух ~ Ух Ух ~ Ух
У х х = ------------ = . (20.6)
*. 1 1 tl;
~2 -2
118
Здесь введено обозначение h, = х 1 - х \ =0,51/7/+, + /?,) - шаг
разност-
,+ 2 ' "Т
ной сетки с полуцелыми узлами. В случае равномерной сетки п, - п -= const
(20.6) записывается в виде
К/ч , - 2// + //_, к(+1) - 2у + /(-1)
л2 л2
Аналогично определяется разностная производная по времени:
. Ybi.thi)-ybi.t,) _ УГ -у! у-у <2о7)
f/+1 - f, Ту Г
Замена дифференциальных уравнений разностными вызывает ошибку в решении
задачи, которая называется погрешностью аппроксимации. Вычислим
погрешность аппроксимации первой производной функции односторонней
разностной производной, предполагая, что у(х) - гладкая функция:
by y{Xj + hi+,) - y(Xj) by
'К*/) = Ух --<*,•) =-------------т-----------------Т~ =
Эх /?/+1 Эх
hi+\ Ъ2у
------------г (х,) + 0(/?/+ , ) = О(hj+ |).
