Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Мы дадим доказательство для пары (x,yz). Для (ху, z) доказательство аналогично. В силу соотношения (5.7) и равенств (6.6), (6.7) мы имеем
Y r(x' О y'z')f(x" ® y"z") =
= Y r(x' ® jW ® у'W ® у")^(х"" ®*") =
(x)(y)(z)
= Y r(x> ® -г')Ф"МуИя"' ® -г") =
(X)(Z)
= E e(yMz'®2:')f(z"®.z") =
(X)(Z)
= є(у)ф)ф) =
= e(x)e(yz). ?
Равенство 53(3.)(^ ^rr' ® у') г(ж" ® у") = є(х)є(у) доказывается аналогично.
Условие (ii): Мы должны проверить, что для всех X и у из А(с) мы имеем
Y г(х' ® у VV = E v'x'r(x" ® у")- (6-8)
МЫ (xXy)
Мы действуем так же, как и для условия (і), а именно, сначала проверим (6.8) для х = 1 или у = 1, что тривиально, и в случае х = Т™ и у = Tj1, а затем покажем, что если (6.8) выполняется для (ж, у), (х, z) и 244 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
(у, Z), то оно верно и для (x,yz) и (ху, z). Во-первых, из соотношений, определяющих А(с), мы имеем
Для продолжения доказательства воспользуемся следующим аналогом леммы 6.7.
Лемма 8.6.8. Если соотношение (6.8) выполнено для всех пар (х\,у\), (xi,zi), (yi, z\) таких, что degzi ^ degz, degyx ^ degy, deg^i ^ degz, то оно верно и для пар (x,yz) и (xy,z).
Доказательство. Предположим, что (6.8) верно для (х, у) и (x,z). Тогда для (х, yz) мы имеем
Xr(T^TZ)TpmT9"
Z^ j І ЯР P,Q
(*)(у)М
(s)(w)m
E r(x' ® z')y'x"r(x'" ® y")z" =
ООЫСО
,и
E yz'x'r(x" ® z")r(x"' ® у") =
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
?
Это завершает доказательство теоремы 6.4. 8.7. Приложения к GLq(2) и SLq(2)
245
8.7. Приложения к GLq(2) и SLq(2)
В этом параграфе мы покажем, что биалгебра Мд(2), а также алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2), определенные в главе 4, являются косплетен-ными.
Пусть V — двумерное векторное пространство с базисом {ui,^}, и пусть с — автоморфизм пространства V <8> V, матрица которого в базисе {г>і ® v\, г>2 ® ^2,^1 ® ^2,^2 ® uI} есть
-1/2
/? 0 0 0 \
O9O 0
ООО 1
V 0 0 1 q-q'1 J
(7.1)
где q1I2 — обратимый скаляр. Эта матрица появлялась в параграфе 1, где мы доказали, что она является Д-матрицей. Конструкция РТФ сопоставляет с косплетенную биалгебру А (с), которую мы сейчас опишем.
Предложение 8.7.1. Построенная по R-матрице (7.1) биалгебра А(с) изоморфна биалгебре Mq(2) в определении 4.3.2.
Доказательство. Положим T11 = a, T2 = 6, T21 = с, и T22 = d. В соответствии с конструкцией РТФ алгебра А(с) порождена образующими а, 6, с, d и шестнадцатью соотношениями, которые можно переписать в компактной матричной форме следующим образом:
Zq 0 0 0 \ / а2 Ь2 OqO 0 с2 (f
0 0 0 1 ас bd
\ 0 0 1 q-q'1 J \ са db
І а2 Ь2
ас bd \ са db
ab ba \
cd de __
ad bc
cb da J
ab ba \ / q 0 0 0 \
cd de OqO 0 ad bc 0 0 0 1
cb da / \ 0 0 1 q-q'1 / 246 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Простое вычисление показывает, что эти соотношения эквивалентны шести соотношениям
ba = qab, са = qac, cb = be,
db = q bd, de = q cd, da — ad = (q — q'1) bc,
определяющим алгебру Mq( 2). Это позволяет отождествить А (с) и Мд(2) как алгебры. Формулы для коумножения, очевидно, совпадают (сравните (6.2) и теорему 4.5.1). ?
Отсюда и из теоремы 6.4 мы получим следующий важный результат, касающийся Mq (2).
Следствие 8.7.2. Биалгебра Mq(2) имеет, и притом единственную, структуру косплетенной биалгебры с универсальной R-формой г, заданной формулой
( г(а <8 а) г(с (8 с) г(а (8 с) V г(с (8 а)
r(b (8 Ь) r(d (8 d) r(b <8 d) r(d (8 b)
r(a®b) r(b <8 а) \
r(c (8> d) r(d (8 c)
r(a (8 d) r(b <8 c)
r(c (8 b) r(d (8 a) )
= A
( Я
о о V О
о о
\
-1
где Л = а-1'2.
Легко проверить, что кодействие А(с) на двумерном векторном пространстве V совпадает с кодействием Mq(2) на множестве элементов квантовой плоскости kq[x,y] степени 1 (см. параграф 4.7).
Теперь мы покажем, что GLq (2) и SLg(2) косплетены относительно той же самой универсальной Д-формы. Так как SLq(2) есть фактор-алгебра алгебры GLq(2), достаточно доказать это для SLq(2). Мы начнем со следующей леммы.
Лемма 8.7.3. Для всех х Є Mq(2) жы имеем
г(х <8 detg) = r(detg <8>іе) = є(іе).
Напомним, что detg = da — qbc есть квантовый детерминант, введенный в главе 4. 8.7. Приложения к GLq(2) и SLq(2)
247
доказательство. Предположим, мы доказали, что соотношения в лемме 7.3 выполнены для элементов X та. у. Так как по теореме 4.5.1 элемент det9 групповой, мы получаем из (5.6), что
г(ху <8 det9) = г(х (8 det9) r(y (8 det9) = є(х)є(у) = є(ху),
что сводит доказательство леммы 7.3 к проверке этого соотношения для X = а, 6, с, d.
Для X = а мы имеем
r(a (8 det9) = г(а <8 а)г(а <8 d) + r(6 (8 a)r(d <8 d) —
— qr(a (8 c)r(a <8 6) — qr(b <8 с)т-(<і (8 і),
так как A (a) = а (8 а + 6 (8 d. Применяя следствие 7.2, получаем
Следствие 8.7.4. Алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2) являются коспле-тенными относительно универсальной R-формы г, описанной в следствии 7.2.
Доказательство. Напомним, что SLq(2) есть фактор-алгебра алгебры M9 (2) по идеалу /, порожденному элементом det9 —1. Далее, утверждение леммы 7.3 равносильно тому, что
