Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
A(U)R21R = Ya(S(U))A(Si)R21R =
г
= Y(s ® S)(A°»(U))A(Si)R21R =
г
= Y(S ^ S)(A0P(U))R21 RA(S1). і
Зададим правое действие алгебры Н®А на H <g> H по формуле
(а ® Ъ) ¦ (А О В) = (S ® S)(B)(a ® Ъ)А,
где а,ЬєН,&А,ВєН®Н. Тогда мы можем переписать предыдущее соотношение следующим образом:
A(U)R21R = R21 ¦ (Яі2-Йі3-Й23-Йі4-Й24)-
Согласно (2.7) это равняется R21 * (-/^23-^13-/^12-^14-/^24)5 ^^ мы сейчас и вычислим. Используя соотношение (2.13), которое дает обратный к R элемент, получаем
-Й21 • A23 = Y, ^(tj) U ® SiSj = hj
= (S ® id) (Е S"1 (U)tj ® SiSj) =
= (S^id)(R21R21) = = (5®id)(l® 1) = = 101. 232
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Следовательно,
R2j • (R23Ri3) = (1 ® 1) • Rn = J2 ® 1 = « ® 1-
і
Далее,
#21 • (Ri3Ri3Rn) = (и ® 1) • Ri2 = (и ® 1)Д
и
A21 • (#23#13#12#i4) = (u ® 1) (Е ® ^(?)?) =
ij
і,І
= (и® l)(id®S)(R~lR) = = (и ® l)(id ® S)(l ® 1) = = (ti® 1).
Наконец, мы имеем
R21 • (R-Z3Ri3RnRiARn) = (" ® 1) ¦ Д24 = (" ® 1)(1 ® u) = и ® u,
что и требовалось доказать.
(в) Формула для A(S(u)) легко следует из формулы для Д(и) и равенства (S ® S) о Д = Д°р о S, которое является частью теоремы 3.3.4.
(г) Последнее соотношение следует из (б), (в) и того, что uS(u) — центральный элемент. ?
8.5. Двойственное понятие: косплетенные биалгебры
Так же как сплетенные биалгебры порождают Д-матрицы на своих модулях, существуют биалгебры, порождающие Д-матрицы на комоду-лях. Это — косплетенные биалгебры, которые мы сейчас и определим.
Определение 8.5.1. Косплетенная биалгебра (Н, р, ту, Д, є, г) —это биалгебра H вместе с линейной функцией г на Н® Н, удовлетворяющей условиям 8.5. Двойственное понятие: косплетенные биалгебры
233
(І) существует линейная функция г на H <8> H такая, что
г *r = r*r = є, (5.1)
(ii) мы имеем
р°Р = г*р*г (5.2)
(ІІІ) и
r(p <g> idtf) = ?"13 *г2з И r(idff ® м) = гіз*П2> (5.3)
где * есть операция свертки линейных функций, а линейные функции Т\2, Г23 и Гіз определены как
ri2 = r<g>e, г2з = є<8>г, гіз = (є <8> г) (тя,я <Э idff)-
Линейная функция г называется универсальной R-формой на Н. Алгебра Хопфа называется косплетенной, если она косплетена как биалгебра.
Это определение двойственно к определению 2.2. Более точно, соотношение (5.2) двойственно к (2.1), а равенства (5.3) соответствуют формулам (2.3), (2.4). Условия (5.1)-(5.3) можно выразить следующим образом. Для любой тройки (х, у, z) элементов из H мы имеем: (і)
Y r(x> ® y'W ® У") = Y f^x' ® У')г(х" ® У") = ФЫУ), (5-4)
М(г/) М(г/)
(H)
ух = Yt r{x' ® у')х"у"г{х'" ® у"'), (5.5)
(*)(у)
(ІІІ)
r(zy (gl z) = E rOr' ® ® z") = Yr(x® z')r(y ® *")
(*)(y)M (^)
(5.6) 234 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
r(x®yz) = Yj г(х> ® z')?(y')e(z")r(x" ® у") - У^ г(х' ® z)r(x" ® у).
ix)(y)(z) - (х)
(5.7)
Биалгебра, удовлетворяющая условиям (і) и (іі) определения 5.1, может быть названа квазикоммутативной по аналогии с квазикокомму-тативным случаем из параграфа 2.
Теперь мы покажем, как универсальная Д-форма косплетенной биалгебры H порождает решение уравнения Янга-Бакстера на любом Я-комодуле. Отображение Cy w, заданное формулой (3.1) для сплетенной биалгебры H с универсальной Д-матрицей Д и H-модулей F, VF, есть композиция отображений
FSf -^^-> H®H®V®W
F®W Sv9tlw H®V®H®W.,
где ?y и /іvv — действия H на F и VF соответственно, и мы отождествили Д с линейным отображением из к в H ® Н, отправляющим 1 в Д.
Пусть H есть косплетенная биалгебра с универсальной Д-формой г. Для данных H-комо дулей F и VF с ко действиями соответственно Ay: V H ®V и Aw W H ® W определим линейное отображение
CrViW : F ® VF -»• VF ® F
: данным
отображений
по аналогии с данным выше определением для Cyw как композицию
F <& VF VF <8> F Avv0A" > H®W®H®V
(5.8)
W(S)F <-^^- H®H®W®V 8.5. Двойственное понятие: косплетенные биалгебры
235
(она получается обращением всех стрелок и перестановкой V и W). Используя соглашения из параграфа 3.6, мы можем переписать это определение для любых V Є V и W Є W так:
CyW(v®w) = E r(wH ® vh) ww ® W- (5.9)
(v)(w)
Предложение 8.5.2. (а) В предположениях, сделанных выше, отображение Cyw есть изоморфизм H-комодулей.
(б) Если U — еще один H-комодуль, то мы имеем
cu®v,w = (си,W ® idv)(idc/ ® dv>w)
и
cU,v®w = (idV ® cu,w)(cutv ® idW)•
Кроме того,
(cv,w ® idc/) (idv ® си,w) (cu,v ® idW) =
= (idw ® cu,v)(cu,w ® idy)(ida ® cvtw)-
Полагая U = V = W в последнем равенстве, мы видим, что Crvv есть решение уравнения Янга-Бакстера.
Доказательство, (а) Мы используем условие (5.1) для доказательства того, что элемент C1vw обратим. Определим линейное отображение Crvw h3W®VbV®W по формуле
CyW{w®v)= E r(u)h ®vh)vv ®ww-
(v)(w)
Мы утверждаем, что элемент (?yW есть обратный к C1^w. Покажем, что он является левым обратным. Мы имеем
(cVtW ° cVtw)(v ® w) =
= E r(wh ® vH)r({ww)h ® (vv)h) (vv)v ® (ww)w =
