Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
= Y^W'(S-lWVa')
(а) (а)
что доказывает (2.5).
?
9.4. Квантовый дубль Дринфельда
Пусть (Я, /и, 77, А, є, 5, S-1) — конечномерная алгебра Хопфа с обрати-
мым антиподом S, а X = (Hop)* = (Н*, А*, є*, (fiop)*,rj*, (S1-1)*, S*) —
двойственная к ней алгебра Хопфа. Мы только что доказали, что (X, Н) есть сочетающаяся пара алгебр Хопфа.
9.4.1. Квантовый дубль как алгебра Хопфа
Определение 9.4.1. Квантовый дубль D(H) алгебры Хопфа H есть бискрещенное произведение алгебр Хопфа X = (Hop)* и Я:
Сначала мы дадим более явное описание D(H), а затем, в следующем пункте, докажем, что квантовый дубль является сплетенной алгеброй Хопфа в смысле параграфа 8.2.
Как векторное пространство D(H) совпадает с X ® Н. Единицей в D(H) является 1 <g> 1. Коединица и коумножение задаются формулами
D(H) = X м Я = (Hop)* м Я.
е(/®а)=е(а)/(1)
(4.1)
и
(4.2)
где / Є X, а Є Я.
Лемма 9.4.2. Умножение в D(H) задается формулой
(/ ® а)(д ® 6) = Yl f Q(S-lW)Ia') ® а"Ь,
(а)
(4.3)
где f,g Є X, а,Ь Є Я. 9.4. Квантовый дубль Дринфельда
269
Здесь g(S 1(a"')ta') обозначает отображение х н-» g(S 1(а"')ха').
Доказательство. По определению бискрещенного произведения умножение в D(H) записывается следующим образом:
(/®а)($®6) = Y f(a ¦ g') ® а"9" Ъ. (a)(9)
Вычисляя правую часть равенства с помощью формул из теоремы 3.5, мы получаем
E !g'(S-l(a")la') ® ^ VwVV'^ =
W(S)
= Yf Q(S-1Wn)a'"S'1 (а"у.а') ® а""Ь =
(а) (а)
= T f g(S-1(a"')?a')® а!'Ъ.
I л °
(а)
Квантовый дубль D(H) содержит H и X как Хопфовские подалгебры, где отображения вложения г# и ix суть
iH(a) = l®a и ix(f) = f® 1.
Формула (4.3) влечет
f ®a = ix(f)iH(a) (4.4)
для всех / Є X и а Є Н.
Мы используем равенство (4.4) для того, чтобы упростить наши обозначения, и будем писать fa вместо / ® а = іх(І)ін(а), если а принадлежит Н, а / — линейная функция на H. При этих соглашениях умножение в D(H) записывается упрощенной формулой
af = Yf(S-\a'")1a')a", (4.5)
(а)
где / Є X, а Є Я. 270
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
В случае, когда H кокоммутативна, конструкцию бискрещенного произведения для дубля алгебры Хопфа H можно свести к конструкции скрещенного произведения из примера 3 параграфа 2, как показывает следующее утверждение.
Предложение 9.4.3. Пусть H — кокоммутативная конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Тогда квантовый дубль D(H) изоморфен как алгебра Хопфа скрещенному произведению H на (Hop)*, где первая алгебра действует на второй с помощью левого коприсоединенного представления, из следствия 3.3.
Доказательство. Сначала мы должны доказать, что мы находимся в ситуации примера 3 из параграфа 2, а именно, что (Hop)* действует на H тривиально и что (Hop)* есть модульная алгебра над H для левого коприсоединенного действия. Условие совместимости (2.8) тривиальным образом выполнено, так как H кокоммутативна.
Возобновляя обозначения из предложения 3.4 и используя кокомму-тативность Н, мы имеем
O^ = Ez(S-VV)O" =
(а)
= Ez(S-V)AV =
(а)
= E/(1)Ф")а' =
(а)
= e(Z)a,
откуда следует, что (Hop)* действует на H тривиально.
Чтобы доказать, что (Hop)* является модульной алгеброй над Н, мы должны проверить, что
о.1=ф)1 и a-(fg) = Е(а'•/)(<*"¦<?)
(а)
для всех а Є H и f,g Є (Hop)*. Мы оставляем это читателю. 9.4. Квантовый дубль Дринфельда
271
Теперь докажем, что умножение в D(H) совпадает с умножением в скрещенном произведении, заданным формулой (2.9). Для а Є Н, / Є Н* мы имеем следующие равенства в квантовом дубле:
(а) (а)
= х>" • /к =
(а)
= Ba' ¦/)«"•
(а)
Здесь мы использовали кокоммутативность H во втором и четвертом равенствах, а также определение коприсоединенного представления (см. следствие 3.3). Последнее равенство в этой цепочке получается применением формулы (2.9) для умножения в скрещенном произведении. Структуры коалгебр совпадают для обеих конструкций. ?
9.4.2. Описание универсальной Я-матрицы
Рассмотрим отображение Ля,я : H ® X —> End(H), определенное в параграфе 2.2 для а,Ь Є H и / є X по формуле \н,н(а ® f)(b) = f(b)a. Так как алгебра H конечномерна, отображение Ля,я есть изоморфизм, который позволяет положить
P = Ля!я(іс1я) ЄН®Х.
Мы определим матрицу квантового дубля как элемент
R = (iH®ix)(p) € D(H) ® D(H).
Мы получим более явное выражение для R, выбрав базис в век-
торном пространстве H вместе с дуальным базисом {ег}іЄ/ в X. Тогда
p = Yei®ei и R = ?(1 ® ® ®
ієі ієі
(4.6) 272
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Сформулируем основное утверждение этого параграфа.
Теорема 9.4.4. В сделанных выше предположениях алгебра Хопфа D(H) вместе с элементом R = ® Єі) ® (ег ® 1) Є D(H) ® D(H)
является сплетенной.
Доказательство. Мы должны показать, что R удовлетворяет условиям определений 8.2.1, 8.2.2. А именно, нужно доказать,
(1) что R — обратимый элемент в D(H) ® D(H),
(2) что (А ® id) (Я) = A13A23, и (id ® A)(R) = RizRi2 и
(3) что для всех / Є X и а Є H мы имеем
