Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
i,(u) id
пример 1. Кокоммутативные биалгебры с универсальной Д-матрицей Д = 1 <8> 1 являются сплетенными.
Приведем нетривиальный пример.
Пример 2. (Свидлеровская четырехмерная алгебра Хопфа.)11 Пусть H — алгебра, порожденная двумя образующими х,у и соотношениями
X2 = 1, у2 = о, ух -i- ху = 0.
11 Это — в точности алгебра Хопфа из упражнения 7 главы 3. — Прим. ред. 220
Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Семейство {1,х,у,ху} образует аддитивный базис в Я. На Я существует, и притом единственная, структура алгебры Хопфа такая, что
А(х) = x ® x, є(х) = 1, S(x) = x,
А (у) = 1®у + у®х, е(у) = 0, S(y) = ху.
Заметим, что антипод S имеет порядок 4 и что для любого а Є H мы имеем S2(O) = xax~l. Положим
R\ = 1-(1®1 + 1<8>х + х®1-х®х) + ^(у®у + у®ху + ху<8)ху — ху®у),
где Л — произвольный скаляр. Легко показать, что R\ удовлетворяет условию определения 2.2, задавая таким образом для произвольного скаляра А структуру сплетенной алгебры Хопфа на Я. Заметим, что Щ1 = th,h(R\)-
Теперь мы изучим несколько свойств универсальных Д-матриц. Следующая лемма будет полезйа нам в дальнейшем. Она показывает, как можно построить новую квазикокоммутативную алгебру Хопфа по уже имеющейся.
Лемма 8.2.3. (а) Если (H, ц, г/, А, є, S, S-1, R) — квазикокоммутатив-ная алгебра Хопфа, антипод которой S биективен, то этими свойствами обладают также12
(Я, г), А, ?, S-1, S, R-1), (Я, /х, г), Aop, є, 5-1,5, Л"1) (Я, /х,г?,Дор,є, S'1, S, TH,H(R))-
(б) Если, кроме того, алгебра (Н, n,rj, А, є, 5,S-1, Д) сплетенная, то это верно и для
(Я, /х, г,, S-1,S,thth(R)).
Доказательство, (а) Применяя следствие 3.3.5, мы получаем, что (Я, цор, г/, А, е, S-1) и (Я, /и, г/, Aop, є, Sr-1) являются алгебрами Хопфа. В алгебре (Я, /хор, 77, А,є, S-1) равенство (2.1) превращается в
12 A также (HtfioptT],AtetS-1tStTH,H(R))- То же в пункте (б). — Прим. перев. 8.2. Сплетенные биалгебры
221
Дор(а:) = R xA(x)R, в то время как в (H,p,,r],Aop,e,S *) оно переходит в
Д(я) = R-1A0P(X)R и А(х) = Tffiff(R)^op(X)Tfftff(R)'1,
откуда получается утверждение (а).
(б) Согласно (а) алгебра Хопфа (Н, р,, г/, Дор, є, S-1, S, t(R)) квази-кокоммутативна. Теперь мы должны проверить соотношения (2.3) и (2.4).
Начнем с равенства (Д <8 idff)(R) = R13R23 и применим к нему перестановку (12). Получим
(A0^idff)(R) = R23R13.
Теперь используем циклическую перестановку (123), чтобы получить
(id* <8 дopX-R) = (Tfftff(R)) 13Ы,H(R))и-
Аналогично доказывается, что соотношение (2.4) для R влечет равенство (2.3) для tffjff(R). ?
Теорема 8.2.4. Пусть (H,p,r],A,e,R) — сплетенная биалгебра.
(а) Тогда универсальная R-матрица R удовлетворяет уравнению
Д12Я13Я23 = R23R13R12, (2-7)
и мы имеем
(e®idH)(R) = l = (idH®e)(R). (2.8)
(б) Если, кроме того, H имеет обратимый антипод, то
(S <8 idH)(R) = R-1 = (ісід <8 S-1XR) (2.9)
(S^S)(R) = R. (2.10)
Если использовать введенные выше соглашения, то в любой сплетенной алгебре Хопфа, универсальная Д-матрица которой имеет вид R = Yli si ® Ui соотношения (2.7)-(2.9) эквивалентны следующим:
E sksj ® tkSi ® tjti = E sjsi ® skU ® tktj, (2-И)
M.fc i,j,k
^e(Si)U = ^siC(U) = I (2.12)
и « »
R'1 = ^S(Si)Qti = YtlSiQ S^(U). (2.13) 222 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры
Доказательство, (а) Соотношение (2.3) и определение R дают
Д12Д13Д23 = Діг(А ® id) (R) = = (Дор <8 \d)(R)Ri2 = = (тн,н ® id)(A ® id)(R)R12 = = (тн,н ® id)(RuR23)Ri2 = = Д2зДІЗ-КІ2-Из (є <8 id)A = id и равенства (2.3) мы получаем R = (є <8 id <8> id)(A <8 id)(R) = (є <8 id <8 id)(R13R23) = (є ® id)(.R)e(l).R.
Так как є(1) = 1 и матрица R обратима, мы получаем (є <8 id) (Л) = 1. Аналогично, мы используем равенства (id <8 є) A = id и (2.4), чтобы доказать (id (8 є) (R) = 1.
(б) Теперь предположим, что If имеет обратимый антипод S. Мы знаем, что антипод удовлетворяет равенству p,(S <8 id) Д(х) = є(х)1 для всех X Є Н. Вместе с (2.8) это означает, что
(р, <8 id)(5 <8 id <8 id)(A <8 id)(A) = (є <8 id)(R) = 1.
Следовательно,
1 = (ц <8 id)(5 (8 id <8 id)(Rl3R23) = (S ® id)(R) S(I)R.
Так как 5(1) = 1, мы имеем
(SSid)(R) = R'1. (2.14)
Заменим (H, р,, г/, Д, є, S, 5"-1, R) на сплетенную алгебру Хопфа
(Н, pi г), Дор, є, 51-1,5, th,h(R))
из леммы 2.3 (б). Тогда соотношение (2.14) превращается в
(S-1 <8 id)(Ttf,tf(tf)) = тя,я(ЯГ\
что, очевидно, равносильно (id <8 5_1)(Л) = Л-1. Окончательно, мы имеем
(SSS)(R) = (id <8 S)(S <8 id)(R) = = (id (8 S)(A-1) = = (id ® 5) (id <8 S'1) (R) = = (id®id)(A) =
= R. ? 8.2. Сплетенные биалгебры
223
В главе 13 будет дана категорная интерпретация соотношений (2.3), (2.4). Здесь же мы дадим другую интерпретацию — в терминах гомоморфизмов алгебр и коалгебр. Действительно, универсальная Д-матрица R позволяет построить два линейных отображения дА и Ад из двойственного векторного пространства Н* в Н. Они задаются формулами
дА(а) = ^ar(Si) fj и Ад(а) = ^ Sia(U), (2.15)
і і
