Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
-Zv0= J2 CtQjiFjX1V0= J2 a0jlXlVj = 0. (5.8) 176
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
Так как vo,... , ve~i уже линейно независимы, соотношения (5.8) означают, что для всех j
s—г
]>>cW+r)A'= 0. (5.9)
1=0
Переписывая (5.9) для s — г + 1 различных комплексных чисел Л, мы получаем систему уравнений с определителем, который представляет собой ненулевой определитель Вандермонда. Следовательно, Oqj/ = О для всех j и I. Далее, применим Z к вектору Vi- Сделанные на Л предположения означают, что Evі коллинеарен Vq с ненулевым коэффициентом; отсюда по аналогии с рассуждением выше мы получаем а\ц = О для всех j и I. Применяя Z последовательно к векторам от V2 до ve-\, можно показать, что все коэффициенты оіщ равны нулю.
Теперь, когда мы предъявили базис в Uq, докажем предложение 5.8. Рассмотрим в Uq линейное уравнение вида
E OijlFjKtEi = 0. (5.10)
Обозначая через Z элемент алгебры Uq, представленный выражением в левой части (5.10), видим, что Z принадлежит двустороннему идеалу алгебры Uq, порожденному элементом Ke — 1. Значит, мы имеем Z = (Ке- 1)У, где Y = Eo^i,Ke-i; IeZ PijiFjK1Ei. Так как элемент Ke центральный, мы получаем
Z= J2 PijiFj Kl+e Ei — Yl PtjiFj K1E1. (5.11)
O^ij^e-l; IeZ O^ij^e-l; IeZ
Предположим, что Z ф 0, а значит, иУ/0. Обозначим через d(Z) (соответственно через S(Z)) степень ненулевого элемента Z Є Uq, записанного в указанном выше базисе, как многочлена от К (соответственно от К-1). Равенство (5.11) означает, что
d(Z) = d(Y) + e и S(Z) = 6(Y). (5.12)
Далее, по определению Z мы имеем
0 < S(Z) < d(Z) < е. (5.13)
Сопоставляя (5.12), (5.13), получаем d(Y) < 0 < S(Z) = J(Y). Это невозможно; следовательно, Z = 0. ? 6.6. Упражнения
177
6.6. Упражнения
1. Вычислите [Ei,Fj] в Uq.
2. (Простые модули Верма.) Пусть q — не корень из единицы. Покажите, что модуль Верма F(A) прост тогда и только тогда, когда А не представляется в виде А = ±qn, где п Є Z+.
3. Докажите теорему 5.5.
4. Докажите теорему 5.7.
5. Предположим, что q имеет конечный порядок d > 2. Пусть А — ненулевой скаляр. Рассмотрим модуль Верма F(A). Покажите, что FeVо порождает подмодуль со старшим вектором веса А, и фактор-пространство F(A) модуля F(A) по этому подмодулю является простым [/,-модулем размерности е.
6. При каких условиях на А, а и 6 модуль F(A, а, Ь) из параграфа 5 является модулем со старшим весом?
6.7. Замечания
Алгебра Uq = Uq(sl(2)) построена Кулишем и Решетихиным в [KR81]. Дринфельд [Dri85], [Dri87] и Джимбо [Jim85] независимо обобщили эту конструкцию, определив алгебру Uq(g) для произвольной комплексной полупростой алгебры Ли (вообще, для симметризуемой алгебры Каца-Муди) д.
Комплексная полупростая алгебра Ли определяется своей так называемой матрицей Картана (оцЬ^і^і (см. [ВоибО, гл.8], [Нит72], [Ser65]). В случае, когда g имеет тип A, D или Е, матрица Картана симметрична, положительно определена и имеет целочисленные матричные элементы такие, что an = 2 и а^ = 0,-1, если 178 Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
і ф j. Алгебру Дринфельда-Джимбо Uq(Q) можно представить следующим образом: она порождается элементами (Ei, Fi, Ki, Kf1)^^ и соотношениями
KlKf1 = K-1K1 = 1, KlKj = KjKl, KlEjK-1 = q^E3, KiF3K-1 = q~^F3,
[Ei, Fj] = Sij ' Ji .
EiEj = EjEi и FiFj = FjFi, если аг] = О,
E21E3 - [2] EiE3Ei + E3E2 = 0 и F2F3 - [2] FiF3Fi + FjF2 = О,
если ai3 = —1. В случае, когда atj = 0 для \i — j\ > 1 и аг] = —1 для І і — j\ = 1, мы получаем Uq(s\(l + 1)). Представление алгебры Uq(Q) в виде алгебры Uq было дано Люстигом [Lus89].
Алгебра Uq(Q) обладает базисом типа Пуанкаре-Биркгофа-Витта (см. [Lus90a], [Lus90b], [Ros89], [Yam89]) и квантовым элементом Казимира (см. [Jim85]). Люстиг [Lus88] и Pocco [Ros88] доказали, что когда q — не корень из единицы, любой конечномерный простой д-модуль можно деформировать в простой конечномерный [/д(д)-модуль. Квантовый гомоморфизм Хариш-Чандры был построен в [СК90], [JL92], [Ros90], [Тап90].
Многие авторы исследовали алгебры Uq(Q) и их представления в случае, когда q является корнем из единицы, например в [СК90], [СКР92], [DJMM91], [Lus89], [Lus90b], [RA89], [Sal90] (см. также [Ros92]). Мы отсылаем к [СК90], [СКР92] за описанием центра алгебры Uq: в этом случае он является конечным расширением полиномиальной подалгебры, порожденйой Ee, Fe и Ke. В отличие от случая общего положения, здесь существует ограничение на. размерность конечномерных Uq-MO-дулей. Для g = sl(2) этой границей является е (см. предложение 5.2).
Трактовкой, данной в параграфе 5 (включая утверждения и доказательства), мы обязаны Р.Бергеру. Глава 7
Структура алгебры Хопфа на Uq(sl(2))
В этой главе мы всюду предполагаем, что к есть поле комплексных чисел С, a q — не корень из единицы. Здесь мы снабдим алгебру Uq = Uq(sl(2)), определенную в главе 6, структурой алгебры Хопфа. Затем докажем, что любой конечномерный {/,-модуль является прямой суммой простых модулей, описанных в параграфе 6.3. Позже мы покажем, что алгебра Uq естественным образом действует на квантовой плоскости, определенной в параграфе 4.1, и двойственна алгебре Хопфа SLq(2) из главы 4. Мы построим специальные скалярные произведения на простых конечномерных {/,-модулях, а также получим квантовую формулу Клебша-Гордана и укажем основные свойства квантовых коэффициентов Клебша-Гордана.
