Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Для любых [/^-модуля V и скаляра A^O обозначим через Vх подпространство всех векторов V Є V таких, что Kv = Xv. Число А называется весом модуля V, если Vх Ф {0}.
Лемма 6.3.1. Имеют место включения EVx С Vq4 и FVx с Vq х.
Доказательство. Для v є Vх мы имеем
K(Ev) = q2 E(Kv) = q2XEv и K(Fv) = q~2F(Kv) = q~2XFv. ?
Определение 6.3.2. Пусть V — некоторый {/^-модуль, А — скаляр. Элемент V Ф 0 модуля V называется старшим вектором веса А, если Ev = 0 и Kv = Xv. Данный [/^-модуль называется модулем со старшим весом А, если он порождается старшим вектором веса А.
Предложение 6.3.3. Любой конечномерный ненулевой Uq-модуль V содержит старший вектор. Более того, действия элементов EuF на V нильпотентны.
Доказательство. Так как поле k = С алгебраически замкнуто и модуль V конечномерен, существует ненулевой вектор W и число а такие, что Kw = aw. Если Ew ~ 0, вектор w является старшим и утверждение доказано. Если нет, рассмотрим последовательность векторов Enw, где п пробегает множество неотрицательных целых чисел. По лемме 3.1 эта последовательность состоит из собственных векторов с различными собственными значениями; следовательно, существует п такое, что Enw Ф 0 и En+1w = 0; Enw и будет старшим вектором. 6.3. Представлення алгебры Uq
163
Чтобы показать, что действие E на V нильпотентно, достаточно проверить, что 0 является единственным возможным собственным значением оператора Е. Но действительно, если v — ненулевой собственный вектор для E с собственным значением А ф 0, то вектор KnV будет также ненулевым с собственным значением q~2nА. Оператор E имеет тогда бесконечно много различных собственных значений, что невозможно. Аналогичное рассуждение работает и для F. ?
Лемма 6.3.4. Пусть v — старший вектор веса А. Положим vq = v и Vp = ру FpV для р > 0. Тогда
KVp = Xq-2pVp, Evp =-^ _ !-Vp-1, Fup_i = \p\vp.
Доказательство. Эти соотношения следуют из леммы 1.3. ?
Теперь мы найдем все конечномерные простые t/g-модули.
Теорема 6.3.5. (а) Пусть V — конечномерный Uq-модуль, порожденный старшим вектором веса А. Тогда
(І) Скаляр X имеет вид X = eqn, где є = ±1, an — целое, определенное равенством Clim(Vr) = п + 1.
(ii) Полагая vp = ^ Fpv, будем иметь vp = 0 для р> п и, кроме того, множество {v = vo,vi,... , i>n} является базисом в V.
(iii) Действие оператора К на V диагонализуется с (п + 1) различными собственными числами {eqn, eqn~2,.. ¦ ,eq~n+2,eq~n}.
(iv) Любой другой старший вектор модуля V пропорционален v и имеет вес А.
(v) Модуль V прост.
(б) Любой простой конечномерный Uq-модуль порождается старшим вектором. Два конечномерных Uq-модуля, порожденные старшими векторами одинакового веса, изоморфны.
Доказательство, (а) Согласно лемме 3.4, последовательность {vp}p^o состоит из собственных векторов оператора К, соответствующих различным собственным
значениям. Так как модуль V конечномерен, 164 Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
должно существовать п такое, что Vn ф 0,- a un+i = 0. Тогда из леммы 3.4 следует, что vm = 0 для всех т > п, и Vm ф 0 для всех m < п. Мы также имеем из леммы 3.4
д~п\ - дп\~1 q-q-
0 = Evn+i =--——-v„
Следовательно, q~nX = qn А-1, что равносильно равенству Л = ±qn. Оставшаяся часть доказательства пунктов (i)-(iii) повторяет рассуждение в классическом случае (см. теорему 5.4.4).
(iv) Пусть v' — другой старший вектор. Он является собственным для действия элемента К\ значит, он коллинеарен одному из векторов Vi- Но снова по лемме 3.4 вектор Vj убивается оператором Е, если и только если і = 0.
(v) Пусть V' — ненулевой подмодуль {/,-модуля V, а и' — старший вектор в V. Тогда v' является также старшим вектором и в V. Согласно утверждению (iv) v' должен быть ненулевым и пропорциональным v. Следовательно, v лежит в V'. Так как v порождает V, мы должны иметь VcV'. Следовательно, V' = V, т.е. модуль V простой.
(б) Доказательство такое же, как и для части (б) теоремы 5.4.4. ?
Из теоремы 3.5 вытекает, что с точностью до изоморфизма существует, и притом единственный, простой {/,-модуль размерности п + 1, порожденный старшим вектором веса eqn. Мы обозначаем его через Ve^n, а соответствующий гомоморфизм алгебр Uq —> End(V^n) — через Petfl. Заметим, что формулы из леммы 3.4 можно переписать для Ve,п следующим образом:
Kvp = eqn-2pvp, (3.1)
Evp = e[n-p+l]vp-i, (3.2)
и
Fvp-I = [р] V (3.3)
Как частный случая мы имеем Ve,о = к. Гомоморфизм pefi задается формулами
Pefi(K) = є, Pefi(E) = Pefi(F) = 0.
Мы увидим в параграфе 7.1, что pefi можно отождествить с коедини-цей для структуры алгебры Хопфа на Uq. Это будет означать, что модуль Vi1O тривиален и что любой тривиальный {/^-модуль изоморфен 6.3. Представления алгебры Uq
165
прямой сумме копий Vlio- С другой стороны, модуль Vr-i1o не является тривиальным.
На (п+ 1)-мерном модуле Ve >п образующие Е, F и К действуют операторами, которые в базисе {uq, vi, ... , vn] задаются матрицами
и
( 0 [n] 0 0 0 [n - 1]
рє>п{Е) = є
РеЛП =
о о V о о
