Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
E(Ee-1v) = Eev = c1v,
где Ci — некоторый скаляр. Наконец, V' инвариантно относительно F, благодаря равенству Fv = 0 и лемме 1.3.
(б) Теперь предположим, что для действия К нет ни одного собственного вектора v Є V такого, что Fv = 0. Пусть v — ненулевой собственный вектор для действия элемента К. Имеем Fv ф 0. 6.5. Случай, когда q является корнем из единицы
173
Мы утверждаем, что подпространство V", натянутое на векторы v,Fv,... ,Fe~lv, также является подмодулем размерности ^ е. Снова V", очевидно, инвариантно относительно К. Оно также инвариантно относительно F, так как вектор F(Fpv) = Fp+1v лежит в V", если р < е — 1. Если р = е — 1, то мы снова имеем из лемм 5.3 и 5.4
F(Fe-1U) = Fev = c2v,
где C2 — некоторый другой скаляр. Константа C2 отлична от нуля; иначе существовало бы целое р < е такое, что Fpv являлось собственным вектором для действия К, обнуляющимся под действием F, что противоречило бы нашему предположению.
Чтобы проверить, что V" инвариантно относительно Е, используем центральный элемент Cq, определенный в параграфе 4. По лемме 5.4 он действует на V умножением на некоторый скаляр сз. По определению Cq мы получаем для р > О
E(Fpv) = EF(Fp-1v) =
- fr «''К+ qK-1} , _ " \ ч~ (я-я-1)2 ){F v)-
откуда E(Fpv) лежит в V". Когда р = 0, мы используем то же рассуждение, заметив, что v = C^1FeV. ?
Теперь нам осталось лишь найти простые {/,-модули размерности е. Мы будем довольствоваться только их описанием, не приводя доказательств. Для начала приведем два семейства е-мерных модулей.
Первое из них зависит от трех комплексных чисел Л, а и Ь. Мы предполагаем, что Л ф 0. Рассмотрим е-мерное векторное пространство, натянутое на базис {и0, ¦ • • ,ие-і}- Для 0 < р < е - 1 положим
Kvp = Xq-2pvp, (5.1)
Evp+1 = 1 Ip + 1] + ab) Vp, (5.2)
Fvp = Vp+i (5.3) 174
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры JIu sl(2)
и Evо = a,Ve-1, Fve-1 = bvo, Kve-і = A<7-2(e-1)ve_i. Эти формулы задают на нашем векторном пространстве структуру Uq-модуля, обозначаемого через F(A,a,b).
Второе семейство модулей зависит от двух параметров р, ф 0 и с. Действие E,F,K на векторном пространстве с базисом {«о, • • • ,ve-l} задается формулами
Kvp = pq2pvp, (5.4)
Fvp+1 = q~P^_1qZf%+l)vP, (5.5)
Evp = vp+i, (5.6)
если 0<р<е — 1, и Fv о = 0, Eve-I — сщ и Kve-I = W-2^e-I в противном случае. Эти формулы определяют другой [/^-модуль, обозначаемый через V(p,c).
Следующая теорема, которую мы приводим без доказательства, завершает перечисление простых конечномерных [/^-модулей в случае, когда q есть корень из единицы.
Теорема 6.5.5. Любой простой Uq-модуль размерности е изоморфен одному из следующего списка:
(i) V(X,а,Ь), гдеЪфО,
(ii) V(\,a, 0), где А не имеет вида при 1 ^ j е — 1,
(iii) V(±ql-i,c), где сф 0 и 1 < j ^ е - 1.
Следует добавить, что все модули V(X,a,b) и У (/і, с), включая те, что не вошли в список теоремы 5.5, неразложимы.
В рассматриваемой ситуации алгебра Uq имеет интересную конечномерную фактор-алгебру.
Определение 6.5.6. Алгебра Uq есть фактор-алгебра алгебры Uq по двустороннему идеалу, порожденному центральными элементами Ee, Fe ViKe- 1.
Как нетрудно убедиться, конечномерный модуль прост (соответственно неразложим) тогда и только тогда, когда он прост (соответственно неразложим) как {/,-модуль. Следовательно, чтобы получить полный список простых конечномерных {/^-модулей, достаточно найти 6.5. Случай, когда q является корнем из единицы
175
все простые конечномерные [/,-модули, на которых Ee, Fe и Ke — 1 действуют тривиально. Это делается без труда с использованием теоремы 5.5 и соотношений (5.1)-(5.6). Мы получаем следующее:
Теорема 6.5.7. Любой ненулевой простой конечномерный U моду ль изоморфен одному из модулей вида
(i) V\,n> где 0 < n < е — 1, или V(q^1,0, 0), если d = е нечетно, (И) V±i>п, где п четное и меньше е — 1, если due четны, (iii) VijTi, где п четное и меньше е — 1, или VLij7t, где п нечетное и меньше е — 1, или V(—д-1,0,0), если d четно, а е нечетно.
Следующее утверждение понадобится нам в параграфе 9.6.
Предложение 6.5.8. Конечное множество {Е1 Fj явля-
ется базисом в Uq.
доказательство. Благодаря коммутационным соотношениям между образующими доказательство утверждение сводится к проверке, что базисом в Uq является семейство {FJK1 Из предложе-
ния 1.4 очевидно, что это семейство порождает Uq. Остается только проверить его независимость. Для этого введем промежуточную фактор-алгебру Uq, заданную как Uq = Uq/(Ee,Fe), и покажем сначала, что множество {FjK1 является базисом в Uq. Докажем
это утверждение. Достаточно проверить, что это множество линейно независимо.
Рассмотрим линейное соотношение вида
Z= ]Г Otiji FjK1Ei = 0. (5.7)
Применим его к векторам Vp из канонического базиса модуля V(A, 0,0) (проверьте, что ограничение операторов Ee и Fe на него нулевое, что, вообще говоря, не верно для Ke — 1). Предположим, что А не равно нулю и не является корнем из единицы. Так как Evо = 0, мы имеем
