Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
ста/ = ст(а)/ст и aar = ст(а)гст. (3.1)
Для двух данных автоморфизмов стиг алгебры А оператор <5 на А называется (ст, т)-дифференцированием, если для всех а, а' Є А имеет место равенство
б(аа') = а(а)6(а') + 6(а)т(а'). (3.2)
Соотношение (3.2) равносильно следующему:
5щ = a(a)i6 + S(a)iT
(3.3) 7.3. Действие алгебры Uq(s[(2)) на квантовой плоскости
187
или
Sar = т(а)г8 + 6(а)га. (3-4)
Известно, что если S — дифференцирование коммутативной алгебры, то atf также является дифференцированием. В некоммутативной ситуации это неверно. Тем не менее имеет место следующее утверждение.
Лемма 7.3.1. Пусть 6 — некоторое (а,т)-дифференцирование алгебры А, а — элемент А. Если существуют автоморфизмы а' и т' алгебры А такие, что
аТа' = а/а и аіт = агт,
то тогда линейный оператор а;<5 является (а',^-дифференцированием, а оператор аг6 — (а, т')-дифференцированием.
доказательство. Получается прямым вычислением. ?
Теперь мы вернемся к квантовой плоскости А = Ik9[ж, у] из параграфа 4.1. Рассмотрим ее автоморфизмы (как алгебры) ах и ау, заданные формулами
сгх (ж) = qx, ах(у) = у, ау( ж) = ж, ау{у) = qy. (3.5)
Когда q = 1, мы имеем ах = ау = id. Мы определим g-аналоги dq/dx и dq/dy классических частных производных формулами
dq(xmy") = хт-1п и ЩУ1 = [п]хгп п-1 (3 6)
ох ду
для всех т, п ^ 0. Опишем коммутационные соотношения между операторами ж і, хг, уі, уг, ах, ау, dq/dx, dq/dy. Мы говорим, что коммутационное соотношение между двумя операторами и и v тривиально, если
UV = VU. 188
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Предложение 7.3.2. (а) В алгебре линейных операторов на кq[x,y] все коммутационные соотношения между указанными выше восемью операторами тривиальны, кроме следующих:
СТуУі,г = qyi,rCTy,
dq dq
d-yay
dq
dy dy
yixi = qxiyi, xryr = qyrxr, °хЩ,г = qxi,r°x,
да да
to"* = qa*Tx'
да да
Txyi = qy^
dq 9q -V , -і
d~xXl = q Xlд~х+ах = qxiYx+a* '
dq _! dq dq
Yyy^q y^ + ay = qy^ + ay •
dq _x dq dq
-^Xr = q + CTyCTx = QXr-^ + CTyCTx ,
dq a, 3„
Byyi = q y% + aya* = qy% + (Jy Мьг также имеем
dq ax - axl dq cry - a'1
Xlx = -=T" u =-=T-
ox q — q dy q — q
(6) Оператор dq/dx есть (а~1ау,ах)-дифференцирование, и, аналогично, dq/dy является (ау,ахауі)-дифференцированием.
Доказательство, (а) Эта часть получается простым, но громоздким вычислением.
(б) Сначала заметим, что если соотношение (3.3) выполняется для двух элементов а, а' Є А, то оно верно и для их произведения аа'. Действительно,
6(аа')і = баїа'і =
= a(a)i6a[ + 5(а)іта\ =
= a(a)ia(a')io + а(а)і6(а')іт + 6(а)іт(а')іт = = <т(аа')і6 + 5(аа')іт. 7.3. Действие алгебры Uq(s 1(2)) на квантовой плоскости
189
Мы свели нашу задачу к проверке соотношения (3.3) для dq/dx и Bq/ду в случае, когда а = х и а = у. Из части (а) предложения 3.2 мы имеем для dq/dx
( -1 \/ N dQ , (дЧХ\ -1 дя , dQ
Мы также имеем
K"4)(v)i§ + (?? = mdfx = txm-
Аналогичное вычисление можно проделать и для dq/dy. ?
Сейчас мы покажем, как «квантовые частные производные» dq/дх и dq/dy задают на квантовой плоскости структуру модульной алгебры (см. определение 5.6.1) над алгеброй Хопфа Uq.
Теорема 7.3.3. Для любого элемента P Є kq[x,y] положим
EP = xd-f, FP =
ду (3.7)
KP = ((Tx(T-1XP), K-1P = Ka-1J(P).
(а) Соотношения (3.7) определяют на к9[ж, у] структуру Uq-MO-дульной алгебры.
(б) Подпространство кq[x,y]n однородных элементов степени п является ия-подмодулем квантовой плоскости. Этот модуль порождается старшим вектором хп и изоморфен простому модулю Viin.
Теорема 3.3 является квантовой версией теоремы 5.6.4. Из нее видно, что квантовая плоскость содержит все конечномерные простые {/,-модули вида Vii7l.
Доказательство, (а) Сначала мы покажем, что формулы (3.7) задают на kq[x,y] структуру {/,-модуля. Другими словами, мы проверим выпЪлнение соотношений (6.1.10)-(6.1.12). Для этого мы используем предложение 3.2. 190
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на ?/g(s[(2))
Равенство (6.1.10) проверяется тривиальным образом. Для соотношения (6.1.11) мы имеем
KEK-1 = axa~l xi^aya~l =
-1 дЯ
= дХіаУ dyGy =
= q2xA = q2E. ду
Аналогичным образом доказывается равенство KFK'1 = q~2F. Что касается (6.1.12), то мы имеем
г у-, P1 dq dq dq dq
[E'F]=X%Vr?- yrZxxi dy =
dq dq dq dq Bq Bq
= q Xiy^d-x+Xiay^-q VrXlYxd-y -y^dy =
dq dq = *^--^- =
_ ay(ax -&X1)- ax(Vy - Vy1) _ q - q-1
_ VxVy1 - VyVx1 _ q-q-1
_ K - K~l q-q'1
Теперь мы докажем, что квантовая плоскость является [/^-алгеброй. По лемме 5.6.2 достаточно проверить, что для любого и Є Uq мы имеем
ul = е(и)1 (3.8)
и
K(PQ) = K(P)K(Q), (3.9)
E(PQ) = PE(Q) + E(P)K(Q), (3.10)
F(PQ) = K-1 (P)F(Q) +F(P)Q (3.11)
для любой пары (Р, Q) элементов квантовой плоскости. Равенство (3.8) легко следует из (3.5)-(3.7), а соотношение (3.9) — из того факта, что К действует как автоморфизм алгебры. Согласно лемме 3-ій предложению 3.2 (б) оператор XifiL является (id, сг^ст"1)-дифференцированием, 7.4. Двойственность между алгебрами Хопфа Uq(sl(2)) и SLq(2)
