Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
a q = р + V2MOC; равенство а = 0 выражает тот факт, что 2 есть фронт волны Альвена для состояния Yt Можно доказать следующую лемму:
Лемма. 1 Имеем (IaIa)% ^ 0.
2. Если IaIa ф 0, то % = 0 тогда и только тогда, когда I лежит в 2-плоскости (u,h).
3. Если IaIa ^ 0, то H ^ 0 Uf следовательно, а > 0.
в. Рассмотрим теперь тангенциальные компоненты v$ скорости и № магнитного поля. Имеем
(Л“/а) У? - Ш k\ = (ЛХ) Vo - («о/а) &0, (31.8)
(c2rifI + HI hi f) (uala) — Ц (hila) kl =
Детерминант левых частей уравнений (31.8), (31.9) относитель-но i»f, Щ равен Dl(I) = O2Cil. Если Ct1^O, то уравнения (31.8),
ЛЧх, IЛ I2:
(31.3)
(31.4)
(31.5)
(31.6)
(31.7)
Xa-2L,
q — (с2а2/і\) т = е,
где мы положили
a = C2X-HH, X = I л I2 + (a2/IaIa) Н,
= (c2rofo + Ц I Ло f) (иа1а) 00 — Ц (Ло/а) kl (31.9)
5. Теория относительности и математическая физика
193
(31.9) позволяют выразить tff, k\ через начальное состояние и величины, удовлетворяющие пяти скалярным соотношениям инвариантности (31.3) — (31.7).
Положим о&1 = 0, тогда S есть фронт волны Альвена, ориентированной во времени после удара. Из (31.6) следует, что либо ао = 0, либо %о = 0.
г. Удар Альвена есть такой удар, что а\ = ао = 0. Можно показать, что в предположении Tp < 0 из равенства а\ = а0 следует, что термодинамические переменные и три скаляра UaIai halay \h\2 инвариантны при ударе. Если а\ = ао ф 0, то удар равен нулю. Если а\ = а0 = 0 (удар Альвена), то тангенциальное направление магнитного поля после удара является неопределенным, но оно определено в направлении тангенциальной скорости.
Кроме того, можно установить следующий результат: ударная волна, для которой aia0 = 0, совместима с обычными волнами Альвена только в том случае, если она есть ударная волна Альвена (ai=ao = 0). Случаи ai=0, Xo = Ol ао Ф 0 и симметрично а0 = 0, %\ = 0, а\ Ф0 (сингулярные удары) физически запрещены как неустойчивые [17].
В дальнейшем мы будем рассматривать только удары, которые не являются ударами Альвена.
32. Функции Гюгоньо и основные формулы
а. На основании пяти инвариантов (31.3) — (31.7) можно вывести [17] следующее соотношение ДЛЯ СОСТОЯНИЙ Yq и YI, соответствующих удару:
°2(fl - /о) - (т0 + Tl) (Pt - Po) + (Т1 - то) JV- (X0 + X1 -
-2%ao/ai) = 0- (32Л)
Это соотношение называется соотношением Гюгоньо; оно может заменить (31.4) при условии (л?^а) (Ao/a) ^ 0.
б. При заданном начальном состоянии Y0 в точке х є S рассмотрим совокупность S всех возможных состояний Yi удовлетворяющих условиям
H(Y) = H (Y0) = Hi L(Y) = L (Y0) = Lt (32.2)
откуда для т ф Hjc2 имеем
X = L/(c2x — nHf = X0аЦ(с2г — цН)2.
Переменные т, 5 и q связаны функциональным соотношением q = P(XiS) + iaL/2(ch - \xHfy (32.3)
7 Зак. 203
194
А. Лихнерович
где p(t,S) находится из уравнения состояния т = т(р, S). Пусть ГІ есть полуплоскость (т,q), определяемая условием T ^ 0. При выполнении условий (32.2) термодинамическое состояние жидкости, заданное, например, посредством (т, р), определяет на П точку Z = (т, q), для которой
q^ViL/2(c2x-iiHf. (32.4)
Это соотношение определяет на П одну или две связные выпуклые области 52 соответственно H^O или H > 0. Наоборот, точка ZbM определяет термодинамическое состояние жидкости (или т, р) и значения а и %. Обозначим посредством о естественное отображение І’ в П. Таким образом, мы вводим функцию Гюгонъо SiS(Z0iZ) релятивистской МГД, рассматриваемую как функция от Z е 52, для данной начальной точки Z0 е 52:
Ж(Z0, Z) = c*(P-fl)-(T + T0)(p-p0) +
+ (т — T0) V2H (% + X0 — 2%оОо/а). (32.5)
Ясно, что 36 (Z0, Z0) = 0 и что (32.1) можно записать в виде 96(Zo,Z\) = 0 для O(Fi) = Zi. Детальное исследование поведения функций Гюгоньо позволит нам получить значительную часть требуемых результатов.
Дифференцируя (32.5) и учитывая (32.2), (27.4), получаем
= 2/0 dS + (т — т0) dq — (q — q0) dx = 2/0 dS + (і — to)2 dm,
(32.6)
где m — тангенс угла наклона линии (Z0, Z) в 91.
в. Рассмотрим дифференциал 5 вдоль части линии А на П, лежащей в 91 с наклоном m. С учетом (32.2) получаем
т' dS = г' (г'-1 — С'\х%а~1 — т) dx.
Зададим точку Z в 91] пусть 91 — изоэнтропическая кривая, проходящая через Z, соответствующая значению S удельной энтропии и определяемая соотношением (32.4). Тангенс угла наклона & в точке Z равен
(dq/dx)^ = X'-1- C2Hxa-1.
Для и для линии А с наклоном т, проходящей через Z, полагаем
Q (т, Z) = (dq/dx)j, (Z) - т (32.7)
и получаем
т' dS = t'Q (т) dx. (32.8)
5. Теория относительности и математическая физика
195
г. Для IaIa Ф О P(I) можно записать в виде P (I) = crf (Y - 1) (ы\)4 + {c2rf + ц (а2ИХ) H (у- I)} X
X («“О2 /% - цУя/%, (32.9)
а для IaIa = 0 — в виде
я (0 = CVf(Y-I)(HeZe)4. (32.10)
Положим, что Z определяет значение (UaIa) с помощью условия ruala = T0Upa*= а. При этом правые части уравнений
(32.9), (32.10) определяют для Z є 91 число P(I) (Z).
Рассмотрим, согласно (31.7), точки Z линии Aa с наклонами ma = C2Ci2IlaIa, исходящей из Z0. С учетом (32.8) можно показать, что вдоль А а имеем
