Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Va {(в0, + ?,2)) /“} = &“ [/«]. (26.8)
в. Предположим, что электромагнитная ударная волна, удовлетворяющая (26.3), является эффективной. Из разд. 24,6 известно, что если тензор с нулевым следом [тар] не имеет вида
[Тар] = 1*% + /эФв. (26.9)
то 2 также является фронтом эффективной гравитационной ударной волны, которую можно рассматривать как индуцированную электромагнитной ударной волной.
Используя отображение, адаптированное к 2, можно установить, что если (26.9) выполняется, го с необходимостью справедливо соотношение (26.1). Таким образом, имеем
Предложение. Рассмотрим эффективную электромагнитную ударную волну с фронтом 2 и лучами, заданными посредством L которая является решением уравнения (26.3). Если условие
(26.1) не выполняется на 2, то эта волна индуцирует гравитационную ударную волну с тем же фронтом.
V. Гидродинамика, магнитогидродинамика и ударные волны
27. Уравнения релятивистской гидродинамики
а. Пусть (Va, д)—пространство-время, удовлетворяющее предположениям разд. 7. В этом пространстве-времени идеальная жидкость описывается тензором энергии-импульса
Гор = (р + р) UaUfi — Pgaр,
(27.1)
184
А. Лихнерович
где р — плотность собственной энергии жидкости, р — ее давление, а иа — единичный вектор скорости, направленный в будущее. Собственную энергию можно разложить на плотность вещества в жидкости и ее внутреннюю энергию. Положим
Р = С2Г(1 +е/с2) (г > 0),
где г — плотность вещества, а е — удельная внутренняя энергия. Обозначим посредством V=I Ir удельный объем жидкости, а посредством і ее удельную энтальпию
/ = 8 + pV
и введем индекс жидкости f = I + Ц& (/ > I). В этих обозначениях уравнение (27.1) можно записать в виде
Tal = crfUaUfi- Pgafi. (27.2)
Собственную температуру жидкости 0 и ее удельную энтропию
S можно определить, как и в классической гидродинамике, с помощью дифференциального соотношения
edS = de + pdV = di-Vdp = c2df-Vdp (©>0). (27.3)
В результате получаем
c2df = Vdp + edS. (27.4)
В теории относительности термодинамическая переменная т =
= fV (называемая динамическим объемом) играет важную
роль и весьма часто используется вместо удельного объема V. Удобно выбрать р и S в качестве основных термодинамических переменных. Ниже мы будем рассматривать либо г = г(р, S), либо чаще т = т (p,S) в качестве заданных функций от р и 5, определяющих уравнение состояния рассматриваемой жидко-
сти.
Пусть 2 — регулярная гиперповерхность пространства K4
с локальным уравнением ф = 0; будем всегда полагать I = Лр. Скорость а2 гиперповерхности 2 относительно жидкости, т. относительно временного направления и, определяется соотношением
W _ W
г ~(и'чj-(% ¦ ¦ '
Скорость меньше с в том и только том случае, если
IaIа < 0, т. е. если 2 ориентирована во времени.
б. Для того чтобы сделать систему дифференциальных уравнений релятивистской гидродинамики полной, используем следующие соображения: во-первых, полагаем, что плотность вещества г (которая соответствует удельному числу частиц) со-
5. Теория относительности и математическая физика
185
храняется; если V есть оператор ковариантного дифференцирования, то
Va(ru«) = 0. (27.6)
Во-вторых, уравнения Эйнштейна можно записать в виде
Sap = Л (27.7)
откуда следуют уравнения релятивистской динамики
V0T4Pfto = O. (27.8)
Для того чтобы отвлечься от уравнений Эйнштейна и сохранить только систему (27.6), (27.8), предположим, что пространство-время задано. Умножая (27.8) на и$ и учитывая (27.4), получаем
UeVa^n a = c2/Va (гив) + rQuadaS = 0.
Таким образом, соотношение (27.6) приводит к уравнению
uadaS = 0, (27.9)
которое определяет эволюцию энтропии вдоль линий тока — траекторий и. Учитывая этот результат в (27.8), получаем систему дифференциальных уравнений для линий тока
c2r f иаVa«e — (g«P — и»«3) дар = 0. (27.10)
Фундаментальная система уравнений (27.6), (27.8) эквивалентна системе (27.6), (27.9), (27.10).
28. Звуковые волны
Характеристики (27.6), (27.8) можно определить либо посредством анализа задачи Коши, либо на основе непосредственного определения того, что называется звуковыми волнами. Предположим здесь, что р, S и иа относятся к классу (С0, кусочно C1). При пересечении гиперповерхности, порождаемой линиями тока (иадац> = UaIa = 0), первые производные от р,
S, иа могут быть разрывными. Мы приходим к следующему определению: звуковая волна задается таким решением (р, S, иа) системы уравнений гидродинамики (27.6), (27.8), что производные от р, S, иа регулярно разрывны (причем по крайней мере одна эффективно разрывна) при пересечении гиперповерхности 2, порождаемой линиями тока, которая называется волновым фронтом.
а. Согласно (6.1), существуют такие обобщенные функции Sp, 6S, быр (относительно 2), что
MVaPl =/а 8р, б [VaS] = ZeSS, 6 [Va«p] = Ia ЬиР. (28.1)
186
А. Лихнерович
При наших предположениях UaIa ф 0. Соотношение (27.6) можно записать, учитывая (27.9), в виде
rVaH“ + г'риадар = 0.
В результате дифференцирования на обеих сторонах E получаем
