Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
b —> b -f- о7. (2э.2)
Из (25.1) для F = da получаем
[F] = [da] = / Л b. (25.3)
При наших предположениях F = da определяет на Q тензорную обобщенную функцию Fd= (da)D. В качестве уравнения
Максвелла в слабом смысле примем (на Q)
6 (da)D = б Fd = Jd. (25.4)
Рассуждая, как в разд. 21, получаем условия удара
t([)[F] = 0. (25.5)
Соотношения (25.3) и (25.5) означают, что 2-форма [/7] син-
гулярна с фундаментальным вектором /, с необходимостью изотропным. Гиперповерхность 2 является касательной к элементарным конусам, т. е. характеристической для системы уравнений Максвелла. Мы получаем ту же ситуацию, что и в гравитационном случае.
С учетом (25.3) и изотропии / уравнение (25.5) можно свести к одному условию удара
/ (/) b = 0. (25.6)
Интерпретация этого условия проста: из (25.1), (25.6) следует, что величина f = g^d^a^ непрерывна на 2. В результате имеем
Предложение. Фронт электромагнитной ударной волны с необходимостью является характеристическим, причем существует
5. Теория относительности и математическая физика
181
выраженное через вектор-потенциал условие удара, которое определяется соотношением (25.6) или непрерывностью на 2 величины f.
б. Рассмотрим распространение [F] вдоль лучей, порождающих 2, которая может также быть фронтом гравитационной ударной волны. Рассуждая, как в разд. 23, получаем
2/PV А + VpIX - /*Ф = FpaIpbka - Ihl (25.7)
где Ф — соответствующая величина. Эта формула справедлива для произвольных калибровок. Первый член справа соответствует взаимодействию между электромагнитным полем и возможным гравитационным ударом, которое мы будем рассматривать далее.
Если условия удара (25.6) и (21.11) выполняются, то из
(25.7) следует
I-U0] = 0, (25.8)
откуда с учетом (4.5) находим 8J0 = 0. Система уравнений
(25.7) эквивалентна следующей системе дифференциальных уравнений, справедливой для [/7]:
2/pVp [Fxil] + VpZp [F1J = - FpoHxil, р0 - [/,/, - IilJx]. (25.9)
Теорема,. Если электрический ток регулярно разрывен при пересечении волнового фронта 2 электромагнитной ударной волны (и, возможно, гравитационной ударной волны), то разрыв [/1J распространяется вдоль лучей, порождающих 2, в соответствии с (25.9). Этот электрический ток удовлетворяет соотношению (25.8).
в. Введем положительный скаляр
Є([) = — baba,
инвариантный относительно преобразований калибровки. Он зависит только от [F] и от выбора I и может рассматриваться как задающий силу электромагнитного удара в рассматриваемой точке 2. Умножая на Ь\ из (25.7) получаем
Vp (е,1,/р) = - F0VXa + Ьк [Jf]. (25.10)
Необходимо ввести тензор энергии-импульса электромагнитного удара
Tap= [^ap] [^р]« (25.11)
Тензор т(1) обладает нулевым следом, инвариантен относительно преобразования калибровки и зависит только от [/7]. Вводя в (25.11) выражение для [F], получаем
тав = ^(l/aV (25.12)
182
А. Лихнерович
Из (25.10) имеем
VaVpn a = - + Ьк [A] I6. (25.13)
В соотношении (25.13) учитывается интерференция между гравитационными и электромагнитными явлениями.
26. Гравитационные и электромагнитные ударные волны
а. Рассмотрим эффективную гравитационную ударную волну в электромагнитном поле F, причем электрический ток непрерывен. Если S — волновой фронт, то эта гиперповерхность может быть также фронтом электромагнитной волны. На 2 имеем, согласно (25.7),
2/°v A+VpZA - /хФ=FpaIAo-
Вектор Ьх может быть коллинеарен с Ix только в том случае, если вектор kx = Fo0Ipbxo коллинеарен с Ix- Вводя отображение, адаптированное к 2, можно показать, что в этом случае
I(I)F At = 0. (26.1)
Таким образом, если (26.1) не удовлетворяется на Е, то эффек-
тивная гравитационная ударная волна с фронтом S в электромагнитном поле F с необходимостью порождает эффективную электромагнитную ударную волну с тем же фронтом.
б. Докажем лемму.
Лемма. Тензор Максвелла х электромагнитного поля Ft соответствующий электромагнитной ударной волне с фронтом
S и лучами, определяемыми вектором I, тождественно удовлетворяет на S соотношению
f [та0] = О. (26.2)
При этом условии рассмотрим следующую ситуацию:
Предположим что QuF есть метрика и электромагнитное поле, удовлетворяющие — возможно, в слабом смысле — следующим уравнениям Эйнштейна-Максвелла:
5ap = Tap, VaFafl = — Д (26.3)
где х— тензор Максвелла электромагнитного поля F (мы используем единицы, в которых 5С = 1). Пусть S — фронт гравитационной и электромагнитной ударных волн, удовлетворяющих (26.3). Из (25.13) имеем
VaTp> “ « - FpaIpbHxo • /р + Ьк [/х] • /р.
(26.4)
5. Теория относительности и математическая физика
183
С другой стороны, из (24.5) получаем
V0T^a = -У йро[тРо]-Z3. (26.5)
Определяя [тр0] в отображении, адаптированном к 2, и выбирая такую гравитационную калибровку, что b = 6pagpa = 0, получаем
VaT^a = FpaIePbxa- /р. (26.6)
Из (26.5), (26.6) можно вывести соотношение
Va {тр * “ + Xf “} = ЬК [Л] • k- (26.7)
В частности, если J непрерывен, то полный тензор удара (т(1) 4-+ т(2)) консервативен. Используя скаляры ^1), е(2), можно записать (26.7) в виде
