Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
причем вектор Z изотропен; после свертки получаем
g^b [<tep] = 2t\Sgaf> + Pwgap. (23.5)
Наконец, при Fp, непрерывных на 2, имеем
Wpl = Za6Fff. (23.6)
Согласно (23.4)-(23.6), уравнения (23.3) можно записать в виде
2 IkWsv+SutWgaf - IJFt - ittf, -
- С'*”’ {(av*w)+ + («А,г} 'Au=- 2*5In,]- <23-7)
б. Выберем точку X на 2. В окрестности х путем непрерывного расширения можно определить связности (Гру) , (Гру) и как следствие коэффициенты связности Гру = V2 {(rgv)+ +
+ (гpy) }. непрерывные на 2. Можно предположить, что при преобразовании отображений класса C2 в точке х имеем TpvW = O) что приводит к исчезновению в х последнего члена в левой части (23.7). Таким образом, в этом отображении в точке х имеем
2/xVxeffaff + VxZxSffap - ZaSFp - ZpSFe = - 2Хд [Пр], (23.8)
где V соответствует Г. Известно, однако, что ZxVx и VxA вполне определены на 2; тогда в точке х уравнение (23.8) можно записать в виде
2/*V Sffap + VxZxSffop - ZaSFp - ZpSFe = - 2*6 [Гар], (23.9)
178
А. Лихнерович
или, выражая через
2'BV«e + V4, -1.% - W = - 2* [7-у. (23. Ю)
где Ф — подходящие величины. Отсюда следует, что (23.9), (23.10) справедливы в любом допустимом отображении и в любой точке 2.
в. Из (23.10), используя баз, можно получить эквивалентную систему
2(°V«.+V4> - 'Л - '»ф«+«.Л>. ~ - 2*F«1. (23.11)
Система (23.10) эквивалентна также системе, содержащей тензор Я:
2^ptfap1 ^+ Vp/РЯ^ E FUiyii- (23.12)
Умножая (23.11) на приходим к условиям удара, которым должны удовлетворять [Тар]:
/a^a3I = O. (23.13)
Это соотношение с помощью (4.5) можно представить в виде
Va(7t)°=0, (23.14)
что представляет собой закон сохранения энергии-импульса.
Предположим, что (23.13) тождественно удовлетворяется. Этого достаточно, чтобы убедиться в справедливости условий удара (21.10) на начальной 2-поверхности, ортогональной
к лучам; тогда эти условия удовлетворяются на 2 как следствие (23.11). Мы доказали теорему:
Теорема,. Если тензор энергии-импульса регулярно разрывен при пересечении волнового фронта 2 гравитационной ударной волны, то 4-тензор H распространяется вдоль лучей, порождающих 2, в соответствии с системой дифференциальных уравнений
(23.12). Этот тензор энергии-импульса удовлетворяет соотношениям (23.13).
24. Следствия
а. Путем умножения на Ьа$ из (23.11) получаем
Vp(e(2)/p)=-jx&aPM. (24.1)
Интерпретируем это соотношение. Заметим, что Sg** — _ <тЫ . = _ Д
5. Теория относительности и математическая физика
m
Необходимо ввести тензор энергии-импульса удара т(2), определяемый на 2 соотношением
Хбт$ = j bg^HaK №. (24.2)
где тензор
ХТ$ = - ‘ Ь% (24.3)
обладает нулевым следом, инвариантен относительно преобразования калибровки и зависит только от E и от разрывов первых производных от потенциалов. Из условий удара следует
WfyssseM- (24-4)
Из (24.1) имеем
VaT(p)a = -4&p<T[7\,a]/p. (24.5)
Если тензор энергии-импульса непрерывен на 2, то тензор т(2) консервативен.
О. Проанализируем следующую ситуацию:
Тензор энергии-импульса предполагается эффективно и регулярно разрывным при пересечении характеристической гиперповерхности 2, a g есть решение уравнений Эйнштейна (возможно, в слабом смысле) в окрестности 2.
При этих условиях первая и вторая производные от существенных потенциалов не могут быть непрерывны на 2. Можно рассматривать 2 как волновой фронт гравитационной ударной
волны, эффективной либо неэффективной. В общем случае
ударная волна является эффективной, иначе из (23.11) можно было бы заключить, что с необходимостью существуют такие величины Ifla, что
[^a$] Фр* (24.6)
Таким образом, если [Т] не имеет форму (24.6), то наверняка имеется эффективная гравитационная ударная волна. Если же [Т] имеет форму (24.6) и если нет эффективной ударной волны, то мы с необходимостью имеем обыкновенную гравитационную ударную волну (разрыв тензора кривизны) согласно самой системе уравнений Эйнштейна. Если это так, то можно убедиться, что уравнение (24.6) удовлетворяется и что имеет место соотношение (23.13).
25. Электромагнитные ударные волны
Изложенные выше методы и рассуждения могут быть применены к электромагнитной ударной волне, фронт которой может быть также волновым фронтом гравитационной ударной волны.
180
А. Лихнерович
а. Для (V^ д) имеют место предположения разд. 19. Рассматривается область Q, а в ней регулярная гиперповерхность
S с уравнением ф = 0. Введем 1-форму а класса (С0, кусочно С2), выраженную через вектор-потенциал, определенную с точностью до преобразования калибровки а->а + dS, где S — скаляр класса (С1, кусочно С3), и удовлетворяющую следующему предположению: а относится к классу C2 на ?2+ и Q-. Первая и вторая производные от а регулярно разрывны при пересечении 2.
Выберем фиксированное отображение {л*} области Q. Из
(4.7) следует, что на 2 существует такой локальный вектор Ь, что
[<5хам-] = Iyp(j,. (25.1)
При переходе от / к Xt b переходит в Х~1Ь. Из (6.7) следует, что при преобразовании электромагнитной калибровки имеет место соотношение [d^S] = Okllx. Для b получаем преобразование