Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
204
А. Лихнерович
выходящими из точек х из К в будущее точек х (соответственно заканчивающихся в точках х из К в прошлом точек х).
Эти определения справедливы, в частности, для K= {х'}. Положим S (xf) = (xf) U (х')\ тогда граница д% (х') ка-сательна в каждой точке х Ф х' к конусу Сх\ характеристический коноид Yx' = dS>(x/) образуется изотропными геодезическими, выходящими из х'. В окрестности своей вершины Xf коноид IV диффеоморфен к окрестности обычного конуса второго порядка. Однако глобальные явления весьма различны: в частности, изотропные геодезические, выходящие из х\ могут пересекаться друг с другом.
в. Теория систем гиперболических линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами приводит к следующему предположению, которое обеспечивает существование элементарных решений:
Строго глобальная гиперболичность пространства-времени Ша> д): рассмотрим пространство траекторий в V4 с компактнооткрытой топологией. Совокупность временных траекторий, соединяющих две точки в Va, предполагается либо пустой, либо компактной в вышеупомянутом топологическом пространстве.
Из этого предположения следует, в частности, что совокупность точек V4y заданных временными траекториями, соединяющими две произвольные точки, либо пуста, либо компактна в V4. Легко видеть, что везде в (V4, д) существуют открытые подмногообразия Va, содержащие произвольную точку, которые глобально строго гиперболичны.
Множество К из V4 называется компактным по направлению к прошлому, если пересечение &+(К) [\<?-(К) является либо пустым, либо компактным для всех точек X из V4\ само &+(К) и любое замкнутое подмножество &+(К) тогда также компактны по направлению к прошлому. Понятие компактности по направлению к будущему определяется аналогичным образом. Таким образом, компактность в одно и то же время является компактностью по направлению к прошлому и по направлению к будущему. Лере доказал следующую лемму: если К компактно по направлению к прошлому, а К' компактно, то &+(К) П Off-(Kf) всегда компактно.
40. Битензоры и дираковские битензоры
а. В теории дифференциальных операторов на Va с необходимостью появляются понятия битензоров и битензорных обобщенных функций. Если Tx — векторное пространство, касательное в точке ху то (р, q) -битензор в (х, х') есть элемент тензорного произведения (® р Tx)®(®q Tx'); (р, q)- битензор на IZ4 является полем (р, q) -битензоров на V4 X Va.
5. Теория относительности и математическая физика
205
(р,д)-битензорная обобщенная функция является непрерывной линейной формой со скалярными значениями на (р, q)-битензорах с компактным носителем в Va X V^ причем «непрерывность» подразумевается в смысле обобщенных функций. В частности, непрерывная линейная форма с р-тензорными значениями на ^-тензорах с компактным носителем на Va определяет (р, <7)-битензорную обобщенную функцию, называемую специальной.
б. Рассмотрим, например, бискаляр Дирака 8(х, х') на V4, определяемый как специальная бискалярная обобщенная функция согласно формуле
<6(*, х'), f (х')) = f (х). (40.1)
Носитель для б есть диагональ V4 X V*.
В более общем случае пусть х(х,х') —произвольный (1,1)-битензор, подчиняющийся единственному условию, что х(х,х) является тензором, представляющим единичный оператор в точке х. Взяв тензорное произведение т на самого себя, получаем (Р. Р) -битензоры ®р%. Битензоры Дирака на (V4, д) есть специальные битензорные обобщенные функции, определяемые уравнением
(х, х') = (<2>рх)6(х, х'), (40.2)
которое не зависит от выбора т; всегда можно определить посредством соотношения
(№ (х, х'), U (х')) = U (х), (40.3)
где U есть р-тензор.
Путем антисимметризации получаем би-р-форменную обобщенную функцию б(р), а посредством симметризации Z)(2) — симметричную битензорную обобщенную функцию ?>(2>. Если dx есть оператор внешнего дифференцирования в х, а 6* — оператор кодифференцирования в х, то сразу получаем
6x>Dlp+l) = dxDM. (40.4)
Если А — вектор, то мы будем называть SDA симметричным тензором S(A) д. Аналогично (40.4) имеем
ЬХ'Ь{2) = Фх&Х). (40.5)
41. Линейные дифференциальные операторы, ассоциированные
с д на тензорах
а. Введем на Vr4 оператор на р-тензорах
.ap=-V'Vai ...вр.
206
А. Лихнерович
Имеется, кроме того, поле F линейных операторов Fx на р-тен-зорах, а также поле В линейных отображений Bx (р + 1 ^тензоров в точке х на р-тензорах; отображения Bx можно определить посредством множества Bx операторов на р-тензорах. Обозначим через B6x и Fx операторы, транспонированные относительно д. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор на р-тензорах
LT = AT+ B0VpT+ FT. (41.1)
Формальное сопряжение L-+L* определяется соотношением
VU *= AU — Vp (BptU) + FV. (41.2)
Для того чтобы L был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы Во* = — Bp, F* = F—Vji-Bp. Если T есть р-тензорная обобщенная функция, a U — такой р-тензор, что 5(7") П S(U) компактно, то
(LTyU) = (TtLtU). (41.3)
б. Автор ввел на тензорах лапласиан, отличный от А и более удобный для геометрических и физических приложений.
