Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Из заданных gap, dogap можно получить значения на 2 вторых производных от потенциалов с учетом (18.3). Уравнения
(18.5) дают значения на 2 первых производных от ы“, а уравнения (18.4)—значения даг. Таким образом, для системы уравнений (18.4) — (18.6) мы знаем значения на 2 неизвестных и их производных порядка (a) — 1. Если наша система является строго гиперболической системой Jlepe, то из теоремы JIepe следует, что задача Коши для этой системы допускает единственное решение (gap, Г, Ua).
Это решение, удовлетворяющее (18.6) и (на 2) соотношению (18.3), удовлетворяет последнему соотношению везде. Кроме того, из (18.5) следует
UaUPVaUp = — и°да (uPup) = 0.
Если вектор иа единичен на 2, то он единичен везде.
5. Теория относительности и математическая физика
169
Из разд. 14 следует, что наше решение (gap, г, иа) удовлетворяет (18.3), а Varjj = O есть решение системы уравнений Эйнштейна (18.1), (18.2). Мы установили теорему локального существования и единственности для задачи Коши в случае чистого вещества.
IV. Гравитационные и электромагнитные ударные волны
19. Гравитационные ударные волны
Гравитационные ударные волны исследовались Таубом [25, 26], Шоке-Брюа [1—3], а также автором этих строк [13, 14] и сравнительно недавно (в 1971 г.) Пенроузом с учетом различных методов и при различных предположениях. Мы будем использовать здесь метод тензорных обобщенных функций (см.
ч. I), который дает наиболее общие результаты.
а. Пусть (V4, д)—пространство-время, которое только здесь по предположению является дифференцируемым многообразием класса (С1, кусочно С3), обладающим строго гиперболическим метрическим тензором g класса (С0, кусочно С2). Рассмотрим область Q, а в Q — гиперповерхность 2 с уравнением ф = 0, такую, что
1) ф относится к классу C1 на Q и к классу C3 на каждой из областей Q+ и Q- (в обозначениях разд. 3). Вторая и третья производные от ф регулярно разрывны при пересечении 2.
2) Метрический тензор g относится к классу C0 на Q и к классу C2 на Q4 и Q-. Первая и вторая производные от gaQ регулярно разрывны при пересечении 2.
На Q можно также ввести отображение {уа}> адаптированное к 2. Согласно нашим предположениям, [д*?ар] = dt [gap] = = 0, и остается рассмотреть только dcgap. Способом, аналогичным рассмотренному в разд. 12, можно ввести преобразование адаптированного отображения, определяемое формулой
уа' = уа + Wa)(yl) + e(a) («Л1)}, (19.1)
где е(а) равномерно сходится к нулю вместе CO своими производными при у0 -> 0. Значения координат в каждой точке х гиперповерхности 2, значения в х потенциалов а также первых производных от существенных потенциалов инвариантны по отношению к этому преобразованию. Ho посредством соответствующего выбора ф(а> можно создать или устранить разрывы, лишенные физического смысла. В результате приходим к следующему определению:
170
А. Лихнерович
Определение. Гравитационная ударная волна определяется метрическим тензором д, который удовлетворяет предыдущим предположениям, является решением уравнений Эйнштейна в соответствующем слабом смысле и обладает тем свойством, что первые производные от существенных потенциалов регулярно (и эффективно) разрывны при пересечении гиперповерхности, которая называется волновым фронтом.
б. Выберем отображение с областью Q, совместимое с дифференцируемой структурой Va- Для каждой пары индексов (а, р) мы будем рассматривать потенциал gap как локальный скаляр на Q; в соответствии с (4.7) на Q существуют такие скалярные обобщенные функции 6gap, ЧТО
б [^Y^apl =
Это эквивалентно утверждению (условия Адамара), что на 2 существуют величины baft, причем
* ^<*Р»
где Sgap = б-baft. Эти величины baft зависят от разрывов первых производных от потенциалов и от выбора /; если I умножается на Ki то baft умножаются на К~1.
Рассмотрим, каким образом система 6ар модифицируется при преобразовании отображения класса (С1, кусочно С3). Если это преобразование относится к типу (19.1), т. е. оно касательно к единичному преобразованию вдоль 2 и допускает разрывные вторые производные, то 6ар преобразуются следующим образом:
^ap ~> ^ap ”Ь ^p “Ь ^р^а» (19.2)
где ta произвольны: соотношение (19.2) определяет преобразование гравитационной калибровки для Ьар. Предположим временно, что производные от несущественных потенциалов непрерывны, тогда ta равны нулю, и соответствующие допустимые отображения определяются с точностью до преобразования отображения класса С2.
Если преобразование отображений есть произвольное преобразование класса С3, то Ьар преобразуются по тензорному закону. Величины bgaft являются компонентами тензорной обобщенной функции Sg относительно преобразований отображений класса С2.
20. Сингулярные двойные 2-формы
а. Двойная 2-форма есть по определению 4-тензор Hi обладающий следующими свойствами симметрии:
^pa, = ^ap, Яц = ар* (20.1)
5. Теория относительности и математическая физика
171
Рассмотрим в точке х из Va двойную 2-форму H Ф 0, для которой существует такой вектор IФО, что
