Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
5. Теория относительности и математическая физика
151
локально выполнялось, с помощью соответствующего преобразования калибровки.
б. Систему уравнений Максвелла легко записать через вектор-потенциал. Имеем соотношение
6 da = У. (10.1)
Введем на формах лапласиан де Рама А = d& + Для
1-формы ос в координатной записи получаем
(Aa)p = -VxVxap + /^,
где Яр— тензор Риччи метрики. Уравнение (10.1) можно записать в виде
Aa-с/ба = /. (10.2)
Если а удовлетворяет условию Лоренца, то
Aa = /, (10.3)
или
- g^V^ap + Rla0 = /Р. (10.4)
в. Рассмотрим роль уравнения (10.3) и уравнения сохранения электрического заряда
б/ = 0 (10.5)
в системе уравнений Максвелла. Аналогичный результат может быть получен и для гравитационного случая.
Пусть 2 — пространственная гиперповерхность, а {*/“} — отображение, адаптированное к 2; тогда g00 > 0. Выраженные через вектор-потенциал условия Коши определяются посредством компонент а, т. е. ах, и их первых производных д0а\. Мы видели выше, что D0= (бF)0 зависит только от условий Коши на 2.
Рассмотрим решение уравнений (10.3), (10.5), соответствующее условиям Коши:
ба = 0 при у0 = 0 (10.6)
(бFf = J0 при ^0 = O. (10.7)
Покажем вначале, что имеет место следующее соотношение:
д0 Sa = 0 при у° = 0. (10.8)
В самом деле,
(d 6a)° = (Aa)0 — (б daf = J0 — (6F)0 = 0 при у° = 0. Однако локально на 2 имеем
{d да)0 = g°°d0 6а -f g°idl 6а = g°°d0 ба,
152
А. Лихнерович
причем g00 ф 0, и очевидно, что наше решение удовлетворяет (10.8) на 2. Для этого решения можно посредством действия б на (10.3) получить из (10.9) следующее соотношение:
Аба = 0, (10.9)
причем 2 является пространственной гиперповерхностью, а единственным решением уравнения (10.9), удовлетворяющим условиям ба = 0 и д0ба = 0 на 2, является нулевое решение. Таким образом, ба = 0 вне 2, и а удовлетворяет условию Лоренца. Отсюда следует, что а есть решение уравнения Максвелла (ЮЛ).
Предложение. Любое решение уравнений (10.3), (10.5), удовлетворяющее на пространственной гиперповерхности
2 (у0 = 0) условию Лоренца ба = 0 и соотношению (бF)0 = /°, является решением соответствующей задачи Коши для уравнения Максвелла (10.1), и вектор-потенциал а тождественно удовлетворяет условию Лоренца.
11. Обычные электромагнитные волны
Мы предположили, что электромагнитное поле F относится к классу (С0, кусочно С2). Допустим здесь, что электрический ток / непрерывен.
а. Обычная электромагнитная волна определяется решением F уравнений Максвелла (9.1), (9.2) (где J непрерывен), таким, что производные от F регулярно разрывны при пересечении гиперповерхности 2, которая называется «волновым фронтом».
Согласно (6.1), существуют 2-тензорные обобщенные функции 6F с носителем на 2, причем
6[VF] = /®5F (/ = d<p);
bF есть инфинитезимальный разрыв F. Иначе говоря, на 2 существует такая 2-форма H ф 0, что
[VF] = /®#, (11.1)
где 6F = б-Я. Из (9.1) следует, что на 2
IAH = 0, (11.2)
а из (9.2) и из условий непрерывности / следует
і (I)H = 0. (11.3
Эта 2-форма H сингулярна и имеет I в качестве фундаментального вектора в каждой точке х гиперповерхности 2, причем I
обязательно изотропен. Кроме того, мы имеем также
5 Теория относительности и математическая физика
153
Предложение. Фронты электромагнитных волн (или характеристические многообразия системы уравнений Максвелла) есть гиперповерхности, называемые изотропными касательными в каждой своей точке к элементарному конусу в той же точке.
б. Если S определяется локальным уравнением ф = О, а характеристические многообразия есть решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые можно записать в произвольном отображении в виде
ДіФ=^aHqKfyp=iiO, (11.4)
причем Z есть дифференциал <р, то имеем
Z3-Va = 0- 0
где / изотропен
/aZa = O (11.6)
и определяет собой образующую элементарного конуса, вдоль которой S касательна к конусу. Из (11.6) следует
ZaVa = O. (11.7)
Из (11.6) и (11.7) можно получить
/aVaZe = 0 или ZaVaZe = O, (11.8)
и траектории Z есть изотропные геодезические метрического тензора д пространства-времени относительно их аффинного параметра. Эти кривые есть характеристики уравнения (11.4) и называются бихарактеристиками (или лучами) системы уравнений Максвелла.
в. Рассмотрим распространение 6F и H вдоль лучей. Ради простоты будем предполагать, что на рассматриваемой области / относится к классу С1, а д—к классу C2t так что тензор кривизны непрерывен. При изотропном векторе Z из (6.6) посредством свертки можно получить
б [VaVaF] = P (Z)SF, (11.9)
где P(I) —дифференциальный оператор
/> (Z) = 2ZpVp+VpZp. (11.10)
Для каждой области Q+ или Q- (в обозначениях разд. 6) получаем уравнение Максвелла
Va^pv + VpFva + VvFop = 0 и после дифференцирования имеем
VaVaFpv + VaVpFva + VaVvFap = 0.
154
А. Лихнерович
После вычитания получаем
[VaVaFpv] + [VaVpFvJ + [VaVvFap] = 0. (11.11)
На основании тождества Риччи и непрерывности тензора кривизны отсюда следует
