Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
PiiAy3, U1 yt, Z2)PUl(i/2, Z21 Ij1, Z1) d y2. (4.2.1)
Это соотношение называют уравнением Чепмена—Колмогорова*. Этому тождеству должна удовлетворять вероятность перехода любого марковского процесса. Упорядочение по времени существенно: Z2 лежит между Zj и Z3. Уравнение, конечно же, справедливо и в том случае, когда у является вектором, имеющим г компонент, и в том, когда у принимает только дискретные значения, но интеграл в этом случае является суммой.
Как отмечено в § 4.1, любой марковский процесс полностью определяется функциями P1 и P1i1, потому что по ним можно построить всю иерархию Pn. Эти две функции не могут быть выбраны произвольно, а должны удовлетворять двум тождествам:
1) уравнению Чепмена — Колмогорова (4.2.1);
2) очевидному, но необходимому соотношению
Pi («/„ t2) = J P1, , (у2, Z21 Уі, Z1) P1 Qz1, Z1) Cirz1. (4.2.2)
И наоборот, любые две неотрицательные функции P1, P11 ,, удовлетворяющие этим условиям непротиворечивости, однозначно определяют некоторый марковский процесс.
Упражнение. Уравнение Чепмена — Колмогорова (4.2.1) утверждает, что процесс, имеющий начальное значение у^ в момент ^1, достигает значения у3 в момент I3 через любое из возможных значений у2 в промежуточный момент времени t2. В каком месте марковское свойство входит в уравнение? Упражнение. Предположим, что решение уравнения Чепмена — Колмогорова известно и мы хотим его использовать для построения марковского процесса. Как это можно сделать и какой свободой при этом мы еще обладаем?
* Его называют также уравнением Смолуховского, но мы будем избегать этого названия, поскольку оно беспорядочно используется для тесно связанных, но неодинаковых уравнений. Более ранняя ссылка (на Бэчеллера (Bache-Iier)) дана в работе Е. W. Montroll and В. J. West in: Studies in Statistical Mechanics VII (E. W. Montroll and J. L. Lebowitz eds., North-Holland, Amsterdam, 1979), p. 76.
84 Упражнение. Пусть Y имеет множество возможных значений 1. Покажите, что
P1 и (у. i\y. Ґ):
е~ '-V {t-i")} _i > {i_e-*v«-n}6pi (4.2.3)
удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова. Покажите, что это не противоречит соотношению Pi (у, t) — 1/'2(бг/і г-: b]h _і). іМарковский процесс, определенный таким образом, называют дихотомическим марковским процессом или случайным «телеграфным процессом». Упражнение. Предположим, что величина Y принимает два возможных значения и вероятность скачкообразного изменения за время dt есть у dt. Покажите, что Y (Z)— тот же самый процесс, что и выше. Упражнение. Запишите соотношение (4.2.3) в виде 2х2-матрицы и сформулируйте уравнение Чепмена — Колмогорова как свойства этой матрицы. Упражнение. Пусть Y (t) — процесс, в котором величина Y принимает значения 0, 1, a t может иметь только три значения. Тогда существуют восемь выборочных функций. Из этих восьми мы приписываем вероятность 1/4 каждой из следующих четырех:
1, 0, 0; 0, 1, 0; 0. 0, 1; 1, 1, 1.
Остальные четыре имеют нулевую вероятность. Покажите, что этот процесс удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова, но не является марковским *.
Упражнение. Приведенную выше модель можно распространить на бесконечную последовательность единиц и нулей путем объединения таких триплетов. Является ли эта последовательность стационарным процессом? Упражнение. Если вероятность перехода P1 | х (у.2, t21 yi, ti) зависит от Zi, Z2
только посредством их разности I2 — Z1, то, вообще говоря, возможно выбирать P1 в (4.2.2) так, что марковский процесс получится стационарным. Однако приведенное ниже выражение (4.2.4) является исключением.
Следующие два примера марковских процессов имеют особую важность:
1. Легко проге ыгь, что для —оо < у < оо уравнение Чепмена— Колмогорова удоьлегворяется, если считать, что для /2 ..- Zi имеет место
Р.иІУ» tt\yi, /^f=L== ex P I--SfK^J. (4.2.4)
Выбрав PAy1, 0)- (yi), определим нестационарный марковский процесс, который называют винеровским процессом или процессом Винера—Леви**. Обычно его рассматривают только для t > 0, и вначале он был изобретен для описания стохастического поведения координаты броуновской частицы (см. § 8.3). Плотность вероятности при t > 0 в соответствии с (4.2.2) имеет вид
P1 (у, О = —ехр Г-?1. (4.2.5)
V 2л t
* Е. Parzen, Stochastic Processes (Holden-Day, San Francisco, 1962), p. 203. Другие примеры такого эффекта даются в работах P. Levy, Comptes Rendus 228, 2004 (1949) u W. Feller, Ann. Mathem. Statist. ЗО, 1252 (1959).
** N. Wiener, J. Math, and Phys. 2, 131 (1923); Cox and Milller, p. 205,
85 2. Величина Y (Z) принимает только значения п — О, 1, 2, ... Z^ 0. Марковский процесс определен соотношением (Z2 ^ Z1 ^zQ)
PliAnit Mn1, М = (4.2.6)
PAn, 0) = бПі 0.
При этом подразумевается, что Plil = O для п.г < /I1. Таким образом, каждая выборочная функция у(Z) представляет собой после-
довательность шагов единичной
_I " высоты в случайные моменты вре-
I мени (рис. 5). Эта последователь-
I—I ность однозначно определяется mo-
I-' ментами времени, в которые эти
