Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
- « = — m(t)u, (14.1.2)
где и — комплексная величина, а ы (Z)—случайная функция от времени. Этот пример удается решить явно, и его используют для иллюстрации парамагнитного резонанса** и уширения линий ***. Отметим, что (14.1.2) отличается от уравнения Ланжевена именно тем, что случайный коэффициент умножается на и. Важным примером того, что уравнение не может быть решено явно, является соотношение
JC+ W2(Z) X-= 0. (14.1.3)
Это уравнение описывает гармонический осциллятор, частота которого является случайной функцией времени.
Мы пришли к следующей классификации по трем категориям.
I. Линейные дифференциальные уравнения, в которых только неоднородный член является случайной функцией, как в уравнении Ланжевена. чакие уравнения были названы аддитивными, и в принципе их можно решить.
' II. Линейные дифференциальные уравнения, в которых один или несколько коэффициентов при и являются случайными функциями. Они получили название мультипликативных **** и могут быть решены только в частных случаях, однако в § 14.2 и 14.3 мы приведем довольно общий приближенный метод их решения *****
III. Нелинейные уравнения; различия между аддитивными или мультипликативными уравнениями становятся спорными, но в § 14.4 мы их преобразуем к линейным мультипликативным уравнениям.
* Более подробное обсуждение см: N. G. van Kampen, J. Statist. Phys. 24, 175 (1981).
** P. W. Anderson and P. R. Weiss, Rev. Mod. Phys. 25, 269 (1953).
*** R.Kubo in: Fluctuation, Relaxation and Resonance in MagneticSystems (D. ter Haar ed., Oliver and Boyd, Edinburgh, 1961).
**** R. F. Fox, J. Mathem. Phys. 13, 1196 (1972).
***** Обсуждение и литературу см. в работах: A. Brissaud and U. Frisch, J. Mathem. Phys. 15, 524 (1974); V. I. Klyatskin and V. I. Tatarskii, Sov. Phys. Usp. 16, 494 (1974); N. G. van Kampen, Physics Reports 24C, 171 (1976).
¦345 Имеются и другие категории, такие, как стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, задачи на собственные значения * и со случайными границами **, но эти случаи мы здесь рассматривать не будем.
Примечание. Подчеркнем следующее отличие от обычных нестохастических дифференциальных уравнений. Все решения нестохастического уравнения получаются наложением начального условия u(t„) = a в произвольный момент времени t0, а затем рассмотрением всех возможных значений а. Однако для стохастического дифференциального уравнения таким способом можно получить только подкласс всех решений, а именно те решения, для которых оказывается, что они не имеют дисперсий в этот частный момент времени /0.
Чтобы быть более точными, рассмотрим множество 5 всех стохастических функций U (t), удовлетворяющих (14.1.1). Подмножество S0 (а) с: S состоит из таких функций, которые также удовлетворяют соотношению U(t0) = a. Пусть S0—объединение всех S0 (а), получающихся при всех возможных значениях а. Тогда S о С S—множество всех стохастических функций, удовлетворяющих (14.1.1) и имеющих нулевую дисперсию при /0. Теперь возьмем tx ф t0 и построим соответствующее S1. Для нестохастических уравнений S1= S0-- S, но в стохастическом случае S1 ф S0. В общем случае S0 и S1 даже не пересекаются, S0HS1 = O.
Отметим, что мы говорим о стохастических процессах U, а не об их отдельных реализациях. Каждая отдельная реализация и процесса U^Sn является решением уравнения U = F (и, t\ у (/)) при некотором у (t) и, следовательно, также является некоторой реализацией одного из процессов U в S1. Упражнение. Решите (8.8.1), когда L(t)— произвольная случайная функция, стохастические свойства которой задаются ее производящим функционалом. Упражнение. Рассмотрим аддитивное уравнение
и-f u = F (t),
где F (t)— случайная сила, заданная своим производящим функционалом. Найдите производящий функционал решения и (/), определяющийся начальными значениями и (Q) = а, и(0) — Ь.
Упражнение. Решите то же самое уравнение с начальными условиям/; и (Ia)---а, u(/0) = ?, где /0 Ф 0. Покажите, что ни одно из этих решений не совпадает с каким-либо решением, найденным в предыдущем упражнении, если только F не является нестохастической функцией. Упражнение, Решите мультипликативное уравнение (14.1.2). Упражнение. Выведите для магнитного дипольного момента S в магнитном поле В уравнение S-= — gB д S. Если направление В фиксировано, но напряженность является случайной величиной, то это уравнение можно записать в виде (14.1.2). Упражнение. Покажите, что плоская монохроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении х в среде, диэлектрическая проницаемость которой зависит от х, описывается уравнением вида (14.1.3). Упражнение. Все решения в S получаются из начального значения а при f0, если предположить, что а — случайная величина.
* W. Е. Boyce in: Probabilistic Methods in Applied Mathematics 1 (A. T. Bharucha-Reid ed., Acad. Press, New York, 1968); W. Puckert and J. vom Scheidt, Reports Mathem. Phys. 15, 206 (1979).
** F. G. Bass and I. M. Fuks, Wave Scattermg from Statistically Rough Surfaces (Pergamon, Oxford, 1979).
