Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1IixI I dt (v'y I ~ а2т? <у>,
т. е. величиной, имеющей относительный порядок (атс)2. Эта разница пренебрежима по сравнению с уже допущенными ошибками. Следовательно, интегральное уравнение (14.4.1) не точнее дифференциального уравнения (14.2.6).
Упражнение. Для случая, когда (A1 (t)y не обращается в нуль, выведите
dt(u(t)y={A„ + a<A1(t)y)(u (/)> +
/
-і a2 S dr «Л, (Z)eTj4Mi(f — т)» (и(( — т)>. (14.4.2)
___о
* R. С. Bourret, Nuovo Cimento 26, 1 (1962).
¦357 Покажите, что это выражение точнее, чем (14.2.11). Упражнение. Уравнение для монохроматической волны в трехмерной среде со случайным показателем преломления имеет вид *
V2cp (г) + {/г2 + I (г)} ф (г) — 0. Выведите для (ф (г)> интегральное уравнение
(V2+^)<ф(г)=- І 'гГ_Гг,'j Cg (г) E (г')> «Р (r') dr'. (14.4.3)
При каких условиях оно справедливо? Упражнение. Покажите, что при определенных условиях это интегральное уравнение сводится к волновому уравнению с перенормированным волновым числом
V2 «р> -4- <k*+ ?+ іV) «р> = о, где Y > 0, и оно вызывает затухание, когда переходит диссипируемая энергия.
Второе замечание мы сформулируем как предостережение, касающееся обманчиво простого вывода уравнения, описывающего только среднюю величину <ы(0> из линейного стохастического уравнения (14.2.1). Пусть задано начальное значение u(t„). Тогда для каждой отдельной реализации A (t) имеется решение и (t), которое можно записать в виде
«(/)= К (/I/„)«(/„). (14.4.4)
Мы знаем, что оператор эволюции можно записать в виде Y{t\h)-
exp \A{t') dC
о
но такое представление здесь не нужно. Принимая во внимание все реализации А ((), легко понять, что Y(t\ta)—стохастическая матрица. Из (14.4.4) получаем
<M{t)> = <Y {t\t0)yu{ta),
д, <и (0> = <Y (t I /„)> и (/„).
Здесь точка означает дифференцирование по переменной t. Исключая u(t„), получаем
dt <и (/)> = <Y (/1 /„)> <У (і I *„)>-1 Си (/)> = R(t I /,) <ц (/)> - (14.4.5)
Видно, что <и (і)> удовлетворяет обычному дифференциальному уравнению, математически точному с неслучайным матричным коэффициентом R. Возникает вопрос: не было ли наше усердие § 14.2 и 14.3 излишним? -
* Из обширной литературы на отд. тему мы выбрали: V. LTatarski1Wave Propagation in a Turbulent Medium (McGraw-Hill, New York, 1961); (J. Frish in: Probalistic Methods in Applied Mathematics 1 (A. T. Bharucha-Reid ed., Acad. Press, New York, 1968); D. Dence and J. E. Spence in: Idem, Vol. 3 (1973); V. I. Klyatskin and V. I. Tatarski: Sov. Phys. Usp. 16, 494 (1974).
¦358 Нет, поскольку имеется фундаментальное различие между (14.4.5) и (14.2.11), которое проявляется в присутствии Z0 в (14.4.5). Даже если исключить начальное значение и (Z0), начальное время Z0 по-прежнему играет особую роль, потому что это тот момент времени, в который и статистически не зависит от А. Вспоминая примечание в § 14.1, можно сказать что (14.4.5) применима к множеству S0, в то время как (14.2.11) — ко всему S.
Результат § 14.3 состоит в том, что уравнение для всех U^S действительно существует при условии, ЧТО GtTf <^1. Оно описывает режим, в котором флуктуации определяются лишь флуктуациями А (Л и уже не зависят от начальных условий. В этом режиме и движется в окружении облака флуктуаций примерно как элементарная частица, окруженная шубой виртуальных частиц. В результате и по-прежнему удовлетворяет уравнению движения, не содержащему начальных данных, но с модифицированными или перенормированными из-за присутствия флуктуаций коэффициентами. Конечно же, это справедливо только приближенно и лишь по прошествии определенного времени, по крайней мере не меньшего, чем тс от начального момента времени Z11. Иначе говоря, вывод § 14.3 состоит в том, что, если атс<^ 1, то оператор /?(Z|Z0) в (14.4.5) перестает зависеть от Z0 при Z— Z0 > тс и в этом случае дается величиной, заключенной в [] в (14.2.11). Можно добавить, что, после того как этот факт установлен, задним числом можно утверждать, что (14.4.5) можно использовать для нахождения высших членов.
Упражнение. Пусть и—единственная комплексная переменная, удовлетворяющая уравнению и——і ((OD+atOt) и, где ш0— константа, а (O1 — случайная величина, не зависящая от времени. (Тогда тс = оо, см. § 14.6.) Найдите R(t\t0) явно, предполагая, что Oi1 гауссово. Покажите, что оно никогда не становится не зависящей от /0 и что не существует дифференциального уравнения движения, содержащего только <и>.
Третье замечание касается проекционной техники * получения уравнения для среднего. Пусть и — стохастический процесс, определенный соотношением (14.2.1) совместно с начальным условием U(Z0) = а. Чтобы облегчить обсуждение, будем считать, что а может быть случайным. Пусть Si — проекционный оператор, определенный в примечании к параграфу 1.4. Этот оператор проектирует стохастические величины на их средние. Пусть J?=l—9і, так что
Тогда (14.2.1) можно записать как два связанных уравнения для SiU и
* S. Nakajima, Prog. Theor. Phys. 20 , 948 (1958); R. Zwanzig, J. Chem. Phys. 33. 1338 (I960).
