Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Докажите следующую лемму: если H — положительно полуопределенная симметричная матрица, a F — антисимметричная матрица, если собственные значения матрицы А ~ HF обладают неотрицательной действительной частью. Более того, если действительная часть равна нулю, соответствующий собственный вектор является собственным вектором матриц H и F по отдельности. Используйте эту лемму, чтобы показать, что (12.5.12) является решением уравнения (12.5.10). Упражнение. Как вычислить функцию G, определенную в (12.3.7) для больц-мановского случая?
Упражнение. Примените такой же метод к газу Лоренца (хотя в данном случае a priori ясно, что, согласно § 7.6, флуктуации являются пуассонов-скими).
* P. Resibois and М. de Leener loc. cit., p. 89.
** H. Huang, Statistical Mechanics (Wiley, New York, 1963). Подробное, но недостаточно удовлетворительное обсуждение случая, когда такая симметрия не имеет места, приведено в кн.: R. С. Toltnan, Statistical Mechanics (Clarendon, Oxford, 1938).
¦330 Упражнение. Рассмотрите идеальный Ферми-газ, частицы которого могут совершать переходы между уровнями вследствие взаимодействия с некоторым тепловым резервуаром. Подразделите уровни в ячейках, обозначенных метками ц, v, ..., каждая из которых содержит N уровней, и обозначьте Яц(=0, 1, ..., N) соответствующие числа заполнения. Частица в ячейке р, обладает вероятностью кч>ц> отнесенной к единичному времени, совершить переход в v, когда ячейка v пуста. Тогда распределение вероятности описывается уравнением
ц. v
Положите Wji= N Фд + .'V1,2 Im и разложите по В результате полу
чится макроскопическое уравнение
cK- 2 (Vn (1 ~<Pv)- Vv (1 -4V)b
и
Поскольку ф® = {ехр [^/(ftT*)]—I}"1, соотношение детального равновесия принимает вид
W,
Vtl exP [- V<*r>3 = wVlX exP [- ev/(*r>] •
Найдите уравнение для корреляции в равновесии и проверьте, что
оно удовлетворяется при
eev/(af) д
«»„ v>' = (еСТ/(,г>+1), =-.kT <«„>'.
Примечание. В последние годы большое внимание привлекли неравновесные стационарные процессы, которые являются неустойчивыми и протяженными в пространстве. Они могут приводить к существованию разных фаз, так что нарушается трансляционная симметрия. Они получили название «дисси-пативных структур», а первыми примерами явились ячейки Бенара и реакция Жаботинского, но они также встречаются в биологии и метеорологии.
Существование таких структур является свойством макроскопических уравнений. Однако они возникают только в теории флуктуаций, поскольку в точке неустойчивости флуктуация дорастает до очень большого значения.
В момент написания этих строк не существует достаточно удовлетвори-ельной математической теории таких явлений.
ГЛАВА 13
СТАТИСТИКА СКАЧКООБРАЗНЫХ СОБЫТИЙ
Многие из рассмотренных нами примеров были связаны со статистикой величин, изменяющихся вследствие случайно приходящихся скачков. В этой главе мы исследуем статистику моментов времени, в которые происходят эти скачки.
13.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРОСТОЙ ПРИМЕР
Рассмотрим одношаговый процесс, в котором за единичное время частицы могут рождаться и рекомбинировать с вероятностями g (п) и г(п). Каждое рождение или рекомбинация является событием во времени, и мы будем интересоваться их статистикой. В качестве
¦331 примера можно привести фотопроводник, где рекомбинация происходит при испускании фотона, который можно зарегистрировать. Мы сосредоточимся на событиях рекомбинации, но акты рождения можно рассмотреть таким же образом. Чтобы описать статистику этих событий, применим функции f, введенные в § 2.3.
Предположим, что имеется одношаговый процесс и решение уравнения (6.1.2) известно. Это решение мы обозначим * р(п, /). Какова вероятность /i(/i)d/! того, что произойдет событие рекомбинации в течение интервала времени между tx и I1 4- d?,? В случае п, частиц, подходящих в момент времени Z1, вероятность рекомбинации есть г (щ) At1. Полная вероятность события получается умножением этой величины на вероятность р(пл, t1) иметь /г, частиц в момент времени t. и суммированием по всем /г,:
эе
hit л) - 2 г (U1)Pinu Л). (13.1.1)
п1= I
Рассмотрим теперь вероятность Д., (Y1, /2)d/, d/.2 получить одно событие в течение промежутка времени /,, tx + d/, и другое — в течение t.t, t, d/,. Без потери общности можно положить Вероятность первого события есть (13.1.1). После этого события у нас остается я,— 1 подходящих частиц. Следовательно, вероятность иметь п.2 частиц в момент времени /2 дается вероятностью перехода p(nt, t^n^ — X, tx), определяемой уравнениями
- dp("2' (13.1.2а)
П'
Pin^t11 Пі— 1, г,) «(«,,«, 1). (13.1.26)
Тогда вероятность получить оба события составляет
/г (Л, t2)= 2 г ("г) P («2, t-i І "і - 1. ti) Г (U1)Pin1, ty). (13.1.3)
п,. пг
Простейшим примером является процесс распада, рассмотренный в § 4.6, но в этом случае результат тривиален, поскольку события распада по определению независимы. Подобное замечание справедливо для всех линейных процессов (см. § 7.6). Во избежание сложностей, присущих нелинейным процессам, мы рассмотрим здесь при мер, который является линейным, но не одношаговым процессом Однако рекомбинация происходит в один шаг, так что формулы (13.1.1) и (13.1.3) остаются справедливыми
