Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение. Примените результат к гармоническому осциллятору (14.1.3) с частотой <о* (О =CO^ (1 +ag (Z)), где | (Z)—стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и временем автокорреляции тс. Ответ имеет вид
-?^-+^ «4е» -^rr +^f1-J a^oC1 ) <*> =0, (14.2.10)
<Ш 1С —т) sin2cu0TdT,
о
сс
C2=S <l(t)l(t — т)>(1— COS 2со0т) dx.
о
Упражнение. Постоянные C1 и C2 в (14.2.10) зависят от случайного члена при удвоенной частоте свободного осциллятора. Выразите их через спектральную плотность
Упражнение. Примените результат (14.2.1Q) к плоской электромагнитной волне в среде, в которой диэлектрическая проницаемость является случайной функцией X. Каким образом волна может, затухать, если среда не получает энергии?
* М. S. Green, J. Chem. Phys. 20, 1281 (1952); R. Kubo, Сап. J. Phys. 34, 1274 (1956) and in: Statistical Mechanics of Equilibrium and Non-Equilibrium (Proc. Intern. Symp. on Statistical Mechanics and Thermodynamics held at Achen; J. Meixner ea., North-Holland, Amsterdam, 1965).
¦349 Упражнение. Когда A0 также является функцией t (хотя и не стохастической), можно использовать тот же самый метод, если по-другому определить представление взаимодействия.
Упражнение. При выводе (14.2.7) мы предполагаем, что <Лі(О> = 0. Если это не так, то вместо (14.2.7) получим
dt <и (/)> = [ А, J-« <Лі (0> - я2 J «Лі (0 е^-Лі (t — т)» е-тА, dx] <и (/)>.
(14.2.11)
Упражнение. Удерживая тот же порядок по <хтс, можно улучшить (14.2.9), если учесть следующий порядок Ttr I Ло I- Добавочный член включает в себя коммута юр
CC
a2 J 'Ai (О [A11, Ai (/ —т)]> т dt. (14.2.12)
о
Упражнение. Найдите уравнение для <«(/);. если и (t) удовлетворяет уравнению
и = A(t) и+- f (0- (14.2.13)
где f—случайный вектор, статистически не зависящий от А (/).
14.3 РАЗЛОЖЕНИЕ ПО КУМУЛЯНТАМ
Для читателей, неудовлетворенных недостаточной общностью приближений, использованных в предыдущем параграфе, мы дадим более систематический вывод тех же самых результатов. Этот подход также открывает путь к высшим приближениям, хотя мы и не воспользуемся им*.
Вновь рассмотрим линейное стохастическое дифференциальное уравнение (14.2.1). Теперь нет необходимости предполагать ни стационарности Аг((), ни исключать его среднего значения, как это делалось в (14.2.2). Преобразуем (14.2.1) к представлению взаимодействия (14.2.3). Согласно (13.3.9), формальное решение можно записать с помощью упорядоченной по времени экспоненты:
t
Ht) =
ехр
а 5 V(t')At'
а.
(14.3.1)
Это просто сокращенная запись того же самого разложения, первые два члена которого выписаны в (14.2.4). Теперь снова возьмем среднее при фиксированном а. Среднее, конечно же, коммутирует с упорядочением по времени, так что
<v(t)> =
\ехр
а $ V (Od/' )
а.
* Высшие порядки рассматриваются в работах: R. С. Bourret, Сап. J. Phys. 40, 782 (1962); J. В. Keller, Proc. Symp. Appl. Math. 16 (Amer. Mathem. Soc., Providence 1964) p. 84; N. G. van Kampen, Physica 74, 215 and 239 (1974); К. H. Terwiel, Physica 74, 248 (1974).
¦350 Поскольку операторы внутри f можно рассматривать как коммутирующие, можно использовать тождество (3.4.6) для кумулянтов:
<v(t)>
ехр
I 1 1
|а J ClZ^V(Z1))-т-у J dtL dt.^xV(U) V((,)>>.
I о
t
ат Г
п г
J^dtlAti... Atm «V VJV ((,) ... V (/,„)»+...
а. (14.3.2)
Разница с рядом (14.2.4) состоит в том, что теперь в экспоненте появилось разложение по а. Естественно, нужно помнить, что это не являетсйч настоящей экспонентой, потому что упорядочение по времени мощо выполнить только после разложения экспоненты, что приведет нас обратно к (2.4.1). Однако следующая оценка остается справедливой. Предположение, что A1 (t) и, следовательно, V (t) обладают временем корреляции хс, подразумевает, что каждый кумулянт обращается в нуль, если только временные точки в нем не попадают внутрь области порядка хс. Тогда полный вклад в т-кратный интеграл в (14.3.2) возникает из области порядка /т'""1. Соответственно т-й член в экспоненте имеет порядок
(at)(axey-\
Тогда (14.3.2) представляет собой разложение по степеням (атг), каждый член которого приблизительно линеен по t. В этом состоит преимущество разложения по кумулянтам по сравнению с рядом (14.2.4), который является разложением по последовательным степеням at, и, следовательно, ограничен малыми временами.
Упорядочение по времени в (14.3.2) можно частично учесть, если переписать интегралы в следующем виде:
( т с с
<v (t)> = ехр I 2 Vm S d^I ) d^ • • •
m= 1
Ui — і
S dt,n«V(U)Vd2) ... V(tm)y>
a. (14.3.3)
Если оборвать этот ряд после члена т= 1, получим
<v(t)>:
ехр і а ^ dt, <V(U)> о
а.
Это низшее приближение; все члены порядка ахс или выше в экспоненте опущены. Оно эквивалентно дифференциальному уравнению
dt<v(t)>=*a<V(f)> <v(t)>.
(14.3.4)
¦351 Теперь оборвем разложение члена после т = 2:
( * t , у
<v (Z)) = ехр -Ja^ (V(ZOdZ1)^a2J dt , «V (Z1) V(Z2))) } Vo о )
а. (14.3.5)
Здесь включены члены порядка (а/)(атс) в экспоненте и опущены члены порядка (aZ)(aTc)2. Если положить
