Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
д, <|> = — (1 4- 2ф) <|> + 0-14(( — Q- "'2 <Е2; 4- О (Q-1), (13.2.4а) <3/ <12> = —2(1 + 2<р) <?»>? 4 ф -4 2ф2 -т- О (Q-1 -). (13.2.46)
Из последнего уравнения с начальным значением I0 получаем <|2>t = 4- <т2 (1 — е"п) 4 О (Q-і/*),
где использованы обозначения
т = (1 4 2ф )t,
Р4-ФЧ-2Ф2 _2ф4 3ф2 2(1+2Ф) " 2 + 4ф '
После того как <|2>, найдено с точностью до требуемого поряд, ка, для (13.2.4а) получаем
<?>t = &,e-'-f?^(l-e-4{(p-o*-r (а2-?!)е-1}. (13.2.5)
Отсюда следует, в частности, что
Теперь в (13.2.5) положим I0 = Ii — Q~'/s и усреднением по |,
<(<І21 Ii — Q~1/2>)>s = Q-1''2 ff-j-^;— e~T'j 4-0(Q_1),
где т = (І4-2ф)(^2 — Z1). Таким же способом получаем «І* 111 —Й" 1,2> Ii>s =¦ сг2е-т O (Q-1'2).
Подстановка в (13.2.2) дает
і
Упражнение. Для одношагового процесса с постоянной скоростью генерации g,
335 но произвольным]** (л) уравнение (13.1.3) в стационарном режиме сводится к fVi.ti)- 2 г(пг)р(пг. /21/1,-1, OgPs ("1-1)
Jl,. Пг
Покажите, что такое сведение применимо также к высшим /„. поэтому в этом случае события рекомбинации являются пуассоновскими, так же как и события генерации *. Упражнение, Покажите, что для реакции
В — qX. qX А события рекомбинации являются пуассоновскими.
13.3 ФОТОЭФФЕКТ: ФЛУКТУАЦИИ ЧИСЛА ПАДАЮЩИХ ФОТОНОВ
Следующая задача в некотором смысле является обратной по отношению к тем, что рассмотрены в предыдущих шух параграфах. Возьмем фотопроводник, в котором электроны возбуждены в проводящую область с помощью пучка фотонов. Моменты времени, в которые падающие фотоны попадают в фотопроводник, образуют множество случайных событий, описывающееся функциями распределения fn или корреляционными функциями gm. Если они независимы (промесс Пуассона или дробовой шум), вероятность возбуждения электронов ia единичное время получается постоянной и тогда применима формула (6,9.1). Для любого другого стохастического распределения событий, состоящих в попадании фотонов, последовательные возбуждения уже не являются независимыми и, следовательно, число возбужденных электронов не является марковским процессом и не описывается основным кинетическим уравнением. Задача состоит в том, чтобы определить, каким образом статистика падающего потока (}ютонов влияет на статистику числа носителей заряда. Статистические свойства потока фотонов предполагаются известными, и мы будем считать, что они обладают свойством кластеризации, т. е. их кор-реляционныефуикции gm описываются (2.5.8). После первой попытки ** задача была решена Убинком *** в виде систематического разложения. В соответствии с нашей общей стратегией продемонстрируем этот метод на простом примере.
Рассмотрим набор N независимых атомов, каждый из которых может находиться в своем основном состоянии или на одном из возбужденных уровней. Возбужденные атомы за единичное время могут совершить обратный переход с вероятностью а, но возбуждение может произойти только вследствие попадания фотона. Каждый фотон обладает вероятностью ? возбудить атом. Мы предполагаем, что число п возбужденных атомов много меньше, чем ,V, тогда эту вероятность можно считать не зависящей от п.
* Этот ответ на вопрос*, поставленный в |8|, сообщил мне Гардинер |С VV. Gardiner|.
** J.G. Cook. J. Blok and N. G. van Kampen. Phvica 35. 2*1 (1967),
J. Т. Ubbink. Physica 52. 253 (1971).
¦336 Пусть фотоны попадают в моменты времени ть T2, ... .В течение времени между двумя событиями распределение вероятности р (t) описывается формулой
р -*(Е 1)пр Wp. (13.3.1)
В каждый момент времени т, когда происходит попадание фотона, вероятность изменяется скачком:
р(тт0) =p(t-O) - (J(E " - l)p(x — 0)-::(1 -f 5)а»(х-0). (13.3.2)
Предположим, прерыватель пучка открыт при t --- 0 и пропускает фотоны. Предположим, также, что р(0) известно; мы хотим вычислить p(t). Если з фотонов попадают в интервал между 0 и / в моменты времени
0 T1 T2 ... т ^ t, (13.3.3)
то распределение, подобное (7.7.6), имеет вид
|/»(0U - ?)e^-Tv_,»w(в). . .(1 ?)e^wp(0). (13.3.4)
Введем разновидность представления взаимодействия, полагая
е- twBerw В(т). (13.3.5)
Тогда условная вероятность, зависящая от истории фотонов (13 .3.3),
(^(^!сош -e'w{l -В(тЛ>}{1 -t-B(T ,)}...({U B-(T1)J- р(0).
Усреднив это выражение по истории фотонов, получим окончательное распределение:
p(t) e'w .{1 -t--B(T5)J {1 4-В(т,_,)}. . .{1 +B(T1)I ,р(0). (13.3.6)
Среднее значение, которое встречается в люй формуле, имеет тот же вид, что и среднее в (2.3.6), но В являются операторами, которые не коммутируют. Чтобы обойти эту трудность, введем символ временного упорядочения Г . . . ~\ , который ставит условие, что все операторы внутри этих символов должны браться в хронологическом порядке, т. е. в соответствии с убыванием временных аргументов. Поскольку это требование мы сформулировали в виде условия, можно свободно обращаться с операторами, так как, если бы они коммутировали, только в окончательной формуле их нужно снова расположить в хронологическом порядке. Тогда (13.3 6) можно преобразовать в соответствии с (2.5.7):
