Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
P({/Uk}, {"U}, O = A2>k (Em5lE^1k-I) P +
Ak
+ А_12 flk (Е„I E„u -1 )mx пхьР. (12.4.8)
¦322 .Для первых моментов отсюда можно вывести соотношение
dt <тау = — ДЦЬк + А"1 <тау 2 ак <пак> + О (А0), к к
д, <Пак> = Afek -A-1Gk <та> <n«k> + О (А0).
Координатное пространство можно сделать непрерывным, если ввести плотности ш(г) и ик (г):
df <ш (г)> = - 2 bk + <и>(г)> 2 ак <ык (г)>, (12.4.9а) к к
df <.uk(r)y = bk — ак <w (г)> <«к (г)>. (12.4.96)
Для того чтобы перейти к непрерывному описанию и, в к-прост-ранстве предположим, что в ячейке фазового пространства d3k имеется p(k)d3k уровней. Число носителей заряда в такой ячейке есть и (г, k)d3k. Тогда (12.4.9) принимает вид
0,<ш(г)> = — J bk P (к) d3k + <w (r)> J ак<и(г, k)> d3k, (12.4.10a) dt<u(r, k)> = bk P (k)—ak <w (r)> <ы (r, k)>. (12.4.106)
Теперь легко добавить члены, описывающие движение в пространстве под влиянием приближенной силы F. Естественно, (12.4.10а) не меняется, потому что доноры фиксированы, а (12.4.106) принимает вид
dt<u{r, k)> = bk р {k) — ak <w{r)> <ы(г, k)> —
— (k- V) <u (r, k)> — (F• Vk) <« (r, k)>. (12.4.11)
Это и есть макроскопические уравнения, которые можно было бы вывести непосредственно из макроскопической картины. Для того чтобы определить также и флуктуации, нужно (12.4.8) систематически разложить по параметру А-'/«, найти уравнения для вторых моментов в приближении линейного шума и дополнить их потоковыми членами. Однако, поскольку в нашем случае имеется два случайных поля и (г, к) и ш(г), уравнения усложняются, и поэтому мы здесь их подробно не рассматриваем.
Упражнение. Упростите модель полупроводника, полагая для вероятности рекомбинации akw = Ch независимо от доноров. Найдите для этой минерализованной модели функцию G (г, t), определенную в (12.3.7). Упражнение. Найдите стационарное решение уравнений (12.4.10а) и (12.4.11) в одномерном случае:
<?) (*)>s = a> = const,
к
1
<и (х, k)ys = у \ bk'p (k') dk' ехр
tJv"
к'
(12.4.12)
(предполагается, что bki>(k) стремится к нулю при больших | k |, но для ак это уже не так). Как найти ш? Упражнение. Найдите также стационарное решение уравнения (12.4.11) в трехмерном случае.
¦323 Упражнение. Из (12.4.12) для малых F выверите соотношение
<и «X. ft». =, Ml^L _ 4 . т о (Я).
wak w2ak dk ак
Получите из этого выражения формулу для линейной части проводимости:
а= Л U/ f ^d*.
J Oi \dka(k)j ' J а*
— X - I
Упражнение. Нейтроны в ядерном реакторе ведут себя как свободные частицы до тех пор, пока они не поглощаются, не рассеиваются или не вызывают деления и, следовательно, воспроизводства большего числа нейтронов. Основное кинетическое уравнение для совместного распределения вероятности чисел заполнения п^ ячеек фазового пространства А имеет вид
я (м- ')=-2 s 2^(^- ^.....mml?-) ie-1e-1 ... e^ex-ikp.
К т-О(Ш
Функция ^l, (л.) описывает поглощение, qx (|х | X) — рассеяние, qm(m > 1)--деление. Выведите уравнения для первого я второго моментов, преобразуйте нх к непрерывным обозначениям и добавьте члены, описывающие перенос. В результате получится уравнение переноса нейтронов, включающее флуктуации *.
12.5. ФЛУКТУАЦИИ И УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
В этом параграфе содержится уже достаточно сложное приложение метода составных моментов. Этот метод применяется к знаменитому уравнению Больцмана**
д/(Гь Pi) Pj. df р . _ df dt ' т" д гж 1 ^1' oPl
==• S w (Pb р21 Рз, P4) Ь (ru р3) f(гь р4) d3p3 d3p4 d3p2 —
-Zfr1, P1) 5 ш(р8, P4jP1, р2)/(гь p2)d3p2d3p3d3p4. (12.5.1)
Здесь /(r, p)d3rd3p обычно определяется как число молекул в ячейке d3r d3p одночастичного фазового пространства (ц-пространства) при условии, что ячейка достаточно велика, чтобы в ней содержалось много молекул, F — внешняя сила, зависящая от пространственных координат и действующая на все частицы. Это уравнение основывается на столкновительном члене специального вида Stosszahlansatz, что соответствует следующему предположению. Число столкновений в единичном объеме за единичное время, в течение которого две молекулы с импульсами plt р2 (в пределах d3pb d3p2) сталкиваются
* Относительно различных подходов и литературы см.: J Lewins, Ргос. Roy. Soc. А 362, 537 (1978).
** L. Boltzmann, Vorlesungen uber Gastheorie I (J. A. Barth. Leipzig, 1896): S. Chapman and T. G. Cowling. The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (University Press, Cambridge, 1939); C. Cercignani, Theon and Application oi Lhe Boltzman Equation (Scottish Acad. Press. Edinburgh. 1975r. P. Resibob and M. de Leener. Classical Kinetic Theory of Fluids (Wiley, Vew York, 197?і
¦324 и разлетаются с импульсами р3, р4 (в пределах d3p3, d3p4), пропорционально произведению
/(«"i. Pi)d3pi /(r2, p2)d3p2
чисел подходящих молекул. Коэффициент пропорциональности W сохраняет импульс и энергию:
(і 2 2 2 \ j'
где ст—дифференциальное сечение рассеяния, которое зависит только
от I Pl — P2 I = I Рз—P41 и от (Pi-P2)-(P3-P4)-
Точное значение числа молекул в ячейке не может быть равным f (г, р) d3r d3p, потому что оно целое. Это число флуктуирует относительно значения, дающегося уравнением Больцмана вследствие случайного характера столкновений, и только их вероятность описывается использованным столкновительным членом. Наша цель вычислить эти флуктуации. Если / слабо отличается от равновесного распределения, уравнение Больцмана можно заменить его линеаризованной версией. Тогда становится возможным подключить флуктуации, добавив член Ланжевена, значение которого определяется с помощью флуктуационно-диссипативной теоремы*. Однако, как показано в § 8.9, приближения Ланжевена неприменимо вне линейной области. Поэтому мы стартуем с основного кинетического уравнения и используем Q-разложение. Вся процедура состоит из четырех шагов.
