Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Запишем выражение для линейно поляризованных волн — падающей (Е, Н), отраженной (Ei, Hi) и прошедшей (Е2, Н2):
Е = Re Еоо exp [ixo (t — z/ui)], Н = Vsj-E,
Е\ = Re Ею exp [uwj (t + z/uj)], Hi = Vsi-Ei, (2.1)
E2 = Re ?20 exp [udz (t — z/u2)], H2 = ^2E2.
2.1. Векторы E, H и S в падающей, отраженной и прошедшей волнах («2 < nl)
Зная направления падающей, отраженной и прошедшей волн (векторы S, Sj, S2 соответственно), а также учитывая взаимную ориентацию векторов Е и Н (правило правого винта), легко составить граничные условия (рис. 2.1):
Е + ?1 = Ег, Н - Щ = Я2. (2.2)
По поводу такой записи необходимо сделать два замечания.
В этом и последующих рисунках гл. 3 показано Положение векторов Е, Н, Ец Hj, Е2, Н2 таким, какое они имели на границе раздела.
72
Во-первых, равенства (2.2) записывают в скалярной форме, так как предполагается, что векторы Е, Ej и Ег направлены вдоль одной прямой, а векторы Н, Hj и Нг направлены вдоль другой прямой, образующей прямой угол с вектором Е. Для векторов Е, Ei, Е2 и Н, Hi, Н2 соблюдается правило правого винта, а связь между их модулями определяется соотношениями
Н = п\Е, Hi = п\Е\, Нч = П2Е2,
где «1 = Vei и «2 = ^2-
Во-вторых, учтем, что знак минус, например, в выражении (2.2) соответствует направлению вектора, противоположному исходному направлению этого вектора в падающей волне. Так, например, мы предположили (рис. 2.1), что вектор Hi имеет знак, противоположный знаку Н. С тем же успехом можно было приписать знак вектору Ei, но тогда Hi был бы положительным, так как должно соблюдаться условие правого винта. Важно лишь запомнить сделанное предположение и в дальнейшем пользоваться им при анализе результатов. Заметим, что в уравнения (2.2) входят алгебраические величины и знак их, как будет показано далее, определяется соотношением между показателями преломления «1 и «2 исследуемых сред.
Следует учитывать, что записанные граничные условия должны выполняться для любого значения t, т.е. при г = О имеем
Еоо е*®* + Е10 е^1* = Е2о е^2*. (2.3)
Но тождество (2.3) выполняется (при произвольном значении f), если ш = mi = ©2. Этого и следовало ожидать, поскольку нет никаких физических причин для изменения частоты при отражении или преломлении света на границе раздела двух диэлектриков. Следует иметь в виду, что при взаимодействии с веществом очень сильной электромагнитной волны очевидное соотношение со = coi = Ш2 может не выполняться. Это одна из ключевых проблем нелинейной оптики, получившей существенное развитие за последнее время. Рассмотрение некоторых исходных положений этой науки см. в § 4.7.
Тождество (2.3) очень упрощает форму записи, так как можно не учитывать зависимости Е и Н от времени и формулировать граничные условия для амплитуд напряженности электрического и магнитного полей.
В данном частном случае нормального падения имеем:
Еоо + = &20> Ноо = VsiJoo*
Ноо — Ню = Яго> Ню = VeiEio. Н20 = ^2^20-
73
После очевидных преобразований получим
Еоо + Ею = Е20, Еоо — Ею = Е20 ¦
Отсюда следуют окончательные выражения для амплитуд отраженной и прошедшей волн при нормальном падении волны на границу раздела:
?10 = ----Еоо, Е20 = -------—Еоо¦ (2-4)
«1 + п2 пх + к2
Проведем анализ полученных соотношений.
Если «1 > и2> то знаки Ею и Еоо совпадают. Следовательно, реализуется тот случай, который был выбран (рис. 2.1) в качестве исходного: на границе раздела двух диэлектриков векторы Е и Е] колеблются синфазно, а фазы векторов Н и Hj отличаются на п.
Если «2 > п1> то знаки Ею и Еоо будут различны. Это значит, что изменяется на п фаза вектора Ej по отношению к вектору Е, тогда как векторы Н и Hi колеблются на границе раздела двух таких диэлектриков синфазно. На рис. 2.2, иллюстрирующем возникновение стоячей волны, показан именно этот случай.
Итак, получено правило, которое в оптике обычно формулируется как потеря полуволны Епа()к Епрел1 (Х/2) при отражении света от
оптически более плотной среды
/С-5
(к2 > »i).
Snad ггг\ Ун прел Заметим, что ?20 всегда сов-нпад ompj прел падает по знаку с Еоо ¦ Это зна-
%omp чит, что вектор Ег синфазен
2.2. Векторы Е, н и S в падающей, вектору Е. Аналогично ведут
отраженной и прошедшей волнах себя ВвКТорЫ Нг И Н.
> «1) Введем теперь некоторые
основные величины, которыми будем широко пользоваться в дальнейшем изложении (энергетические коэффициенты отражения (R. и пропускания
Я
г=
средний поток энергии отраженной волны сЕМ( 4я)
средний поток энергии падающей волны cEH/(4:Tt) ’
(2.5)
средний поток энергии прошедшей волны сЕ2Н2/( 4к)
средний поток энергии падающей волны cEH/(4:Tt)
Используя соотношения (2.4) между амплитудами Еоо> -Ею и ?20 для нормального падения волны на границу раздела двух
74
диэлектриков, имеем
Я
Яю 2 пх-пг 2 <Г=^ Ezo 2 4«2k1
Е оо «1+«2 > Е оо (И1+Л2)2
Для подобных процессов справедливо соотношение
(2. 5а)
$ + Я = 1.
(2.56)
Оно следует из закона сохранения энергии, и сразу видно, что коэффициенты, определяемые (2.5а), удовлетворяют равенству (2.56).
В данном разделе рассматриваются явления на границе двух сред, поэтому никак не учитывается поглощение энергии в средах 1 и 2 (см. § 2.5). По формулировке закона сохранения энергии для некоторого объема нужно учесть уменьшение потоков энергии в падающей, отраженной и проходящей волнах. Это приведет к появлению еще одного слагаемого в левой части выражения, подобного (2.56) [см., например, (5.73)].
