Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
58
Тогда для произвольной точки на сфере радиусом г (см. рис. 1.20) можно определить относительное направление векторов Е, Н и единичного вектора г* . Вектор Е направлен по касательной к окружности радиусом г, а вектор Н перпендикулярен плоскости чертежа.
Найдем напряженности электрического и магнитного полей. Вводя угол V}/ (рис. 1.22), дополнительный к углу 9, имеем sin 9 = = cos ц/. На основании (1.35) получаем
2
|Е (*)| = |Н (<)| = а-^>0 cos v)/ cos(co? — kr). (1.37)
Очевидно, что cos \у — амплитуда сферической электро-
с^г
магнитной волны, исходящей из центра осциллятора. Проанализируем полученные соотношения.
1. Величина E(t) [или H(t)] существенно зависит от угла ц/. Максимальное излучение наблюдается в экваториальной плоскости, где Ц1 = 0. Вместе с тем cos ц/ = 0 при = л/2 и амплитуда волны обращается в нуль. Мы приходим к очень важному выводу
— осциллирующий диполь не излучает в направлении своей оси. Пространственное распределение интенсивности излучения осциллятора можно графически изобразить в виде своеобразной диаграммы, приведенной на рис. 1.22.
1.22. Пространственное распреде- 1.23. К введению времени зату-
ление поля излучения осцилли- хания колебаний атома вслед-
рующего диполя ствие излучения (тиал)
2. Если = const (т. е. при некотором вполне определенном направлении вектора rj), то наблюдается уже упоминавшаяся зависимость напряженности электромагнитного поля от расстояния г, которое прошла волна: E(t) = H(t) ~ 1/г. Это очень важная особенность сферической волны, существенно отличающейся от плоской, для которой в любой точке пространства Eq = Но = = const. Правда, для достаточно большого г и при изменении его в небольших пределах можно приближенно считать сферическую волну эквивалентной плоской волне с соответствующей
59
амплитудой. Вместе с тем наблюдается резкое отличие поля исследуемой волны от статического поля диполя (?стат ~ 1/т3). Спадание амплитуды сферической волны происходит по закону
1 /г, т. е. значительно медленнее, и в волновой зоне [г >> Х/(2л)] можно не учитывать -Бсхат.
3. Рассчитаем поток энергии, излучаемый осциллирующим
электроном. Прежде всего убеждаемся, что вектор S = -р-ГЕН]
4 Я
всегда направлен вдоль ri, т. е. энергия распространяется от диполя.
По модулю г
S = cos2vj/ cos2(cof — kr) . (1.38)
4ncars
Усредняя это вырэдкение во времени, получаем
Но найденное значение <S> равно средней плотности потока электромагнитной энергии в определенном направлении, характеризуемом углом ц). Для того чтобы получить полную мощность излучающего диполя WW3Jl, нужно просуммировать эти средние значения по всем направлениям.
Используя полярные координаты и заменяя элемент площади кольца на сфере радиусом г выражением 2яг г cosy dvy = = 2nr2 cosy dv|/, находим
Полученный результат очень важен и играет существенную роль в разнообразных технических приложениях. Из этого выражения (^изл ~ со4 ~ 1/А.4) следует, что в радиотелеграфии необходимо использовать высокие частоты, тогда как сильные токи нужно передавать на низкой частоте, чтобы излучение проводов было наименьшим. Соотношение (1.40) имеет большое значение в теории рассеяния электромагнитных волн — короткие волны рассеиваются сильнее, чем длинные.
Сконцентрируем свое внимание лишь на одной оценке — ее легко провести, и она поможет сделать ряд выводов. Подсчитаем баланс энергии электрона, связанного в атоме квазиупругими силами, за время, равное периоду его колебаний. Допустим, что такой электрон обладает средней энергией <W> = <WrKHH> + + <WnOT> и тратит ее на излучение. Нетрудно заметить, что рассуждение ведется в рамках модели атома Томсона.
(1.39)
(1.40)
—я/2
60
Добротность такой системы
а запасенная энергия_________ „ <W>
“ ~ п энергия, расходуемая за период = W^JT '
В рамках принятой модели легко оценить числитель и знаменатель этого выражения и рассчитать Q:
,ттг^ та>Ч2мкс тю2ро
<w> ~ —-------------!?—•
w„„t - sieLM- 2mfpp , (i.4i)
изл 3 с3 ® 3 с3
Q = 2п
тФ2рр-Зс3 _ 3 тс3
2q2 • 2псо3ро 2q2co
Для оптических частот (со я 40 • 1014 Гц) «добротность атома» Q оказывается порядка 107. Этот результат представляет большой интерес. Известно, что радиотехнические устройства имеют добротность ~ 102—103.
Это значит, что затухание осциллятора (в результате излучения) относительно невелико — он может совершить ~ 107 колебаний, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз (рис. 1.23).
Но более важна возможность приближенной оценки времени затухания колебаний атома вследствие излучения.
Для оценки у заметим, что если атом запасает энергию W — = 1 /2 т со2 I2 и целиком тратит ее на излучение, то мы можем считать, что <W> = 2 у №ИЗЛ. Это соотношение определяет q2cо2
величину у = —----=- = 108 1/с, а интересующая нас величина
3 тс6
среднего времени затухания осциллятора оценивается как
т = — — 10-® с 1иал — ^ •
Найденный результат чрезвычайно важен для многих разделов атомной физики. Мы грубо оценили среднее время жизни атома по отношению к процессам излучения. Последнее обстоятельство весьма существенно, так как в дальнейшем мы увидим, что среднее время жизни атома в возбужденном состоянии может определяться и другими причинами, например столкновениями. Конечно, к исследованию атомных систем, содержащих громадное число излучающих атомов, нужно подходить лишь с позиций статистической физики; более того, корректное описание излуче-
