Волновая оптика - Калитеевский Н.И.
ISBN 5-06-003083-0
Скачать (прямая ссылка):
Е = Re Ео ехр [гю (? — г/и)] = Re Ео ехр [г (cot — kz)] .
Амплитуда может быть комплексной (физический смысл этого связан с эллиптической поляризацией волны), и, кроме того, Е — величина векторная. Поэтому в общем случае нужно записать выражение для плоской монохроматической волны в виде
Е = Ео ехр [i(a>? — kz)] . (1.24)
Соотношение (1.24), описывающее монохроматическую волну, служит одним из возможных решений волнового уравнения, и такая волна обязательно должна быть поляризована (в общем случае эллиптически). Итак, мы пришли к чрезвычайно важному утверждению, глубокий смысл которого заключается в том, что поляризация монохроматической волны является прямым следствием уравнений Максвелла.
Однако опыт показывает, что если не применять специальных приспособлений, то в оптических экспериментах практически всегда мы имеем дело с неполяризованным светом. Почему и как нарушается поляризация электромагнитной волны, рассказано ниже.
Если направление колебаний вектора Е уже задано, выражение (1.24) упрощается и эту формулу можно записать в скалярном виде. Тогда оказывается целесообразным использование при дифференцировании исследуемой функции символического метода. Так, например, если ищется решение волнового уравнения в виде
Е — Eq ехр [ia> (t — г/и9], (1.24а)
то операция дифференцирования по времени d/dt сводится к умножению функции (1.24а) на im. Аналогично, — = -i —- ,
д2 9 д2 , . со ч2 ю2
Учитывая (1.19), имеем
- ю2 Е = jl (_ ) Еу (1.246)
ец и*¦
откуда в явном виде получаем формулу Максвелла и = с/'Гцх.
Значение скорости электромагнитной волны также можно получить из услория постоянства фаз в выражении Е = Ео cos (cot — kz). Действительно, полагая cot — kz = const, имеем для фазовой
скорости выражение и = 4т = ~r~ = ~kr • Сопоставляя это значение
at k 1
с формулой Максвелла и = с/п, мы видим, что показатель преломления п указывает, насколько длина волны в однородном диэлектрике X = Xq/п будет меньше длины волны этого излучения в вакууме.
В дальнейшем будет подробно исследован вопрос о скорости электромагнитной волны (см. § 1.4). При этом показано, что введенного простого понятия фазовой скорости недостаточно для описания сложных процессов распространения электромагнитной волны в реальной среде, так как этот процесс не сводится к определению скорости какой-либо точки, а связан со скоростью распространения некоего состояния.
Легко найти также соотношение между значениями векторов Е и Н в каждый момент времени и в каждой точке пространства.
Воспользуемся уравнениями Максвелла----------Ищем
его решение в виде
Н = Hq ехр [ко (t — z/u)], Е = Eq ехр [ia> (t — г/м)];
отсюда находим
г —Н = — иоЕ. и с
Заменяя и — c/Vejl, имеем Н = '[ё Е. Для диэлектриков,
как уже указывалось, обычно ц « 1 и, следовательно, Н = Ve Е; в вакууме Н = Е.
Так как в свободной волне векторы Е и Н синфазны, т.е. одновременно и в одних и тех же точках пространства достигают максимального или минимального значения, то легко изобразить распространение линейно поляризованной волны на графике (рис. 1.5), избрав в качестве осей координат направления векторов Е (ось X) и Н (ось Y) и направление распространения (ось Z). Совершенно аналогичная картина получается для зависимости от времени поля линейно поляризованной волны, наблюдаемой в определенной точке пространства.
Следует иметь в виду, что векторы Е, Н и направление распространения всегда составляют в свободной волне правый винт.
зо
Уто очень важное свойство станет более очевидным, когда будет введен вектор, характеризующий распространение энергии. Часто такую свободно распространяющуюся волну называют бегущей, чтобы отличить ее от стоячей волны (см. § 2 .1), 15 Распределение
в пространстве поля где синфазность векторов Е линейно поляризованной волны
и Н не имеет места.
Итак, используя уравнения Максвелла для однородной непроводящей среды, мы получили ряд фундаментальных результатов, которые имеет смысл перечислить:
1. Доказано существование электромагнитных полей, распространяющихся в пространстве в виде волн.
2. Установлены поперечность свободной электромагнитной волны и ортогональность векторов Е и Н.
3. Указаны возможные виды поляризации электромагнитной волны.
4. Получены выражения для скорости распространения электромагнитной волны и = с/Гщ (формула Максвелла) и количественное соотношение между векторами Е и Н для каждой точки пространства и в каждый момент времени.
Заметим, что полученные результаты справедливы для любого значения со, что и выявляет универсальность использования метода.
Теперь необходимо более подробно исследовать эти свойства электромагнитных волн. Этими основными характеристиками служат наличие плоского фронта, монохроматичность и существование определенной поляризации излучения. Разберем их последовательно, уделяя особое внимание вопросу о том, в какой степени такую абстракцию можно реализовать на опыте.
1. Плоский фронт волны относительно просто создается системой зеркал, что нетрудно продемонстрировать как в области УКВ, так и в оптическом диапазоне. При этом получается более или менее направленная (т.е. мало расходящаяся) волна, хотя детальный анализ степени направленности излучения часто оказывается далеко не простым.
