- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
18 лентные неприводимые представления, а значит, и неэквивалентные вакуумы [51].
В калибровочных моделях спонтанное нарушение симметрии , обычно моделируется введением так называемых хиггс-голдсто-уновских полей, взаимодействие с которыми материальных и калибровочных полей интерпретируется как их взаимодействие с самим неинвариантным вакуумом [46]. Цель данного параграфа — показать, -почему нарушение симметрии вакуума в квантовых моделях может описываться классическими полями, «а также дать характеристики этих полей, имея в виду сопоставление с ними свойств гравитационного поля как хиггс-голдстоуновского поля в калибровочной теории пространственно-временных симметрий.
Хотя общепринятого корректного математического определения неинвариантного вакуума до сих пор не дано, можно, однако, установить основные признаки неинвариантности вакуума. Постараемся это сделать при минимальных ограничениях на операторные алгебры квантовых систем.
Всякая такая алгебра является инволютивной комплексной алгеброй, а общим для всех определений вакуума является то, что он должен быть циклическим (тотализирующим) вектором ,ее представления.
Пусть В — инволютивная алгебра с единицей и G — группа ее автоморфизмов (см. Приложение II). Воспользуемся тем, что всякое представление алгебры В с тотализирующим вектором может быть определено заданием некоторой положитель: ной формы на В. Это соответствует заданию матрицы плотности квантовой системы и построению представления ее алгебры наблюдаемых методом Гельфанда, Наймарка, Сигала [51, 49]. Такой метод позволяет избежать явного описания гильбертова пространства представления и ограничиться рассмотрением только измеримых величин — операторных средних.
Пусть f — положительная форма на В. Определено действие группы G на форму /:
G=3g:f(B)-^fe(B)4(g-1(B)), (2.1)
переводящее ее в некоторую другую положительную форму fg на В. Формы / и fg определяют представления я и % алгебры В с тотализирующими векторами |> и |>g и пространствами представлений H = B/N и Hg = B/g (N).
Рассмотрим отображение
xe:H^(b)=b/N-^g(b)ig(N)=r]g(g(b))^H8. (2.2)
Оно получается факторизацией автоморфизма g алгебры В, который согласуется с факторизацией В по идеалам N и g{N). Это отображение переводит вектор |> в вектор |>g) определяет изоморфизм гильбертовых пространств H и Hg и морфизм представлений
n(B)-+As(g(B)). (2.3)
а*
19 Возможны два случая.
1) Формы / и fg для любого ^eG определяют эквивалентные представления алгебры В. Тогда, поскольку g — автоморфизм В, то f = fg, т. е. форма f является G-инвариантной. Если В — С*-алгебра, это имеет место тогда и только тогда, когда IfeG являются аппроксимативно внутренними автоморфизмами алгебры В. В этом случае отображение Tg реализует непрерывное унитарное представление rg = p(g) группы G в Н, такое,
что Т| (?(*>)) =р(?)л(Ь) и n(g(b))=p(g)n(b)o~l(g).
2) Форма / не является G-инвариантной, т. е. существуют такие элементы Ь<=В и geG, что / (b)=^fg(b) =/(g-1 (b)), или, учитывая, что форма / линейна на В, /(b) ^=O для некоторого элемента b^g(b). В этом случае представления л и неэквивалентны и отображения (2.2), (2.3) есть операторы перехода от одного неэквивалентного представления к другому. В то же время ¦ обратные отображения == т -і позволяют все представления jtg, получаемые из данного представления л алгебры В в результате ее автоморфизмов, реализовывать как ng(B) = = n(g~1(B)) в одном и том же гильбертовом пространстве H представления я. Но сама группа G не реализуется какими-либо'операторами в Н.
В реальных моделях в алгебре В действуют, как правило, две группы автоморфизмов — группа пространственно-временных симметрий Gex и группа внутренних симметрий Gln. Если форма / Gex-инвариантна, но Gin-неинвариантна и Gex и Gin коммутируют, то форма fg, g^Gi„, также Сех-инвариантна. Это не так, если эти группы не коммутируют между собой.
Важным примером таких групп являются группа трансляций Gex = T и калибровочная группа Gin = G (T). Пусть форма / трансляционно инвариантна, но неинвариантна относительно элемента g^G(T), такого, что dg—gd = d(g)^0, где d — генератор Т. Тогда форма fg оказывается уже Г-неинвариантной, т. е. существует такой элемент Ь^В, что
fAdb)=f(g~l(db)) =f{dg~l{b)) —f{d{g~l) (b)) = = -/(^(^)(^))^0.
Вместо этого форма fg инвариантна относительно преобразований с генератором D = d—g~ldg. В общем случае, когда f тоже
Г-неинвариантна, D = d—А, где А преобразуется относительно g как калибровочное поле. Действительно, і
0 = fg((d~A') (b)) =f(g~1(d—A') (6)) =
4((a-g~lA'g+g^dg) (g->(b))) =f((d—A) (g-*b)),
откуда, как и в (1.8), А'= gAg~l + dgg~т. е. А имеет смысл калибровочного поля.
Следующая теорема показывает, что степень нарушения симметрии никогда не бывает малой [52].
20 Теорема. Пусть В — С*-алгебра с единицей, f и f' — состояния В, определяющие ее неприводимые представления я и я'. Если я и я' неэквивалентны, то существует тайой элемент е=В,-что' \f(b*b)— f(b*b) \>2.
Это указывает, на то, что в физических системах нарушение симметрии по своему характеру должно быть аналогично фазовому переходу.
