- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ
В ФОРМАЛИЗМЕ РАССЛОЕНИЙ
Обобщенная производная Dv, = <Эц — А™1т, заменяющая в лагранжиане и уравнениях поля калибровочной теории частную производную по своей структуре напоминает ковари-антную производную в теории гравитации, а в теории Вейля она трактовалась именно как ковариантная производная в геометрии, в которой роль связности, как полагал Вейль, исполнял электромагнитный потенциал Ali. В такой интерпретации лагранжиан (1.12) и уравнения поля (1.14), (1.15) выглядят как описывающие свободные материальные поля {фп} в геометрии с ковариантными производными Dll (за ними закрепилось это название, которое мы в дальнейшем и будем- использовать) . Этой геометрией является -геометрия расслоенного пространства, задаваемая калибровочными полями Л/" как коэффициентами формы связности на расслоении [83—85]. Такая интерпретация Dil и Л„т приводит к формулировке калибровочной теории в терминах, расслоений [5, 86, 6, 87].
-Применение аппарата расслоений (см. Глоссарий) в теории поля основывается на математическом определении классических полей как сечений векторных расслоений.
27 Пусть {(ра(*)} — некоторый мультиплет классических полей на многообразии X со значениями в векторном пространстве V, реализующим представление группы Ли внутренних симметрий G.
В формализме расслоений материальные поля {ф} описываются как глобальные сечения дифференцируемого векторного расслоения X= (V; X, G, 1P) (которое мы будем называть расслоением материальных полей) с базой X, типичным слоем У,' структурной группой G и атласом расслоения xP = -JtA, \|)t},' где Uu — области и морфизмы тривиализации расслоения X. Атлас расслоения Y и атлас многообразия Ya- фиксируют систему отсчета и .систему координат. -По отношению к ним поле ф представляется набором V-значных функций {cpt (х) = = і|зіф(дг), X^U1} на областях тривиализации расслоения X1 а преобразования атласов 4я и xPa- индуцируют соответственно калибровочные (первого рода) и координатные преобразования полевых функций фі (х).
Преобразование атласа расслоения xP = -JtA1 ^l) — это переход к эквивалентному ему атласу 1P' = {tA, ^ = giifr} путем умножения морфизмов тривиализации Ijjl (х), xetA, на некоторые элементы gi(x), X^U1, групп G(U ) непрерывных функций на U1 со значениями в G1 и [gi } — это функции перехода между картами (tA.^i) и '(U1, Ipl) атласов xP и (см. Глоссарий. Расслоение).
Калибровочные преобразования полевых функций q4, индуцируемые преобразованиями атласа xP, имеют вид
gi: Фі = Фіф->-<f\ = = = ^i, Xe=Ul. (3.1)
Они не преобразуют само сечение ф, но меняют его запись функциями {ф1}. Преобразования атласа расслоения X — калибровочные преобразования первого рода — образуют группу, которая изоморфна группе G(X) сечений ассоциированного с X главного расслоения Xo-
Поскольку преобразования атласа расслоения xP представляют собой преобразования эквивалентности расслоения X, требование инвариантности системы полей {ф} относительно таких преобразований является вполне естественным. Таким образом, описание .полей в формализме расслоений ведет непосредственно к калибровочной теории, а принцип локальной инвариантности выступает как своего рода принцип относительности.
Так же естественно в таком описании возникают и калибровочные поля. Они отождествляются с коэффициентам« Ajn локальной 1-формы связности A1 = A^Iw^x*1, -T = Ortl на расслоении А, записанной относительно некоторого атласа xP. Введение связности на векторном дифференцируемом расслоении необходимо для определения операции дифференцирования на сечениях расслоения, поскольку сравнение векторов, принадле-
28 жащих слоям нзд разными точками базы расслоения," возможно только после Параллельного переноса одного слоя в другой. Закон калибровочных преобразований
G (X) 3g: A-f-gAg'1 + dgg~l
формы связности А (см. Глоссарий. Связность на главном расслоении) совпадает с законом калибровочных преобразований (1.8), а в инифинитезимальной форме с (1.9).
Операция дифференцирования сечений расслоения задается внешним ковариантным дифференциалом D, который в локальной записи относительно атласа расслоения xF имеет вид
D1 = IT1 = d — А = ZV^ = (<ЭМ - Apm) dx
где оператор Dli идентичен компенсирующей производной (1.10) в калибровочной теории.
В свою очередь, коэффициенты 2-формы кривизны
F = DD = FmvImdx* Д dx*
совпадают с тензором напряженности (1.11) калибровочного поля.
Материальные поля ф и калибровочные поля А составляют набор кинематических переменных системы полей {ф} с группой симметрий (ненарушенных) G в описании ее расслоениями. Функционал действия S этой системы может быть задан на любой относительно компактной обл-асти U многообразия X. При этом калибровочно инвариантный лагранжиан5 L (1.12), выраженный через формы ф, Dф, F и являющийся вещественной 4-формой на X4, может быть записан безотносительно к какой-либо системе отсчета. Однако применение вариационного принципа, когда оператор вариации б перестановочен с операторами частных производных дц, но не ковариантных производных D11, требует уже выбора системы отсчета — некоторого а г. ,а а 4я, и калибровочно инвариантная система полевых уравнений (1.14), (1.15), получаемая вариацией L, записывается отдельно па каждой карте атласа 4і'.
