- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как указывалось в § 1, инвариантность лагранжиана L и уравнений поля относительно калибровочных преобразований первого рода обусловливает их инвариантность относительно калибровочных преобразований второго рода. К последним относятся такие морфизмы эквивалентности (F, f = IdX) расслоения X, .что для всякого его атласа 1Jr = ItZl, послойное отображение F тотального пространства tlx расслоения X удовлетворяет условию на л"1 (Ui), где eG(L1). Это означает, что в атласе Y отображение F выглядит как калибровочное преобразование первого рода, что обеспечивает инвариантность относительно него лагранжиана L и уравнений поля. Такое отображение F можно задать следующим образом.
Пусть Xa — главное расслоение, ассоциированное с X, и
29 P — послойное отображение тотального пространства tlXo расслоения Xg, тождественное на базе X и сохраняющее правое действие G на tl Xa. Оно должно удовлетворять условию P(PS) =P{p)g, P^tl Xo, и может быть представлено в виде F(p)=py(p), где у — некоторая G-значная функция на tl Xa такая, что y(pg) =g~*y(p)g- Воспользуемся определением тотального пространства tl X расслоения X как фактор-пространства (t\lr,XV)IG относительно действия G3g : (р, v)-*-->-(pg, g~lv) (см. Глоссарий. Расслоение ассоциированное). Отображение F индуцирует послойное отображение
F\(р, v)/G-*-(py, v)/G = (р, yv)/G
тотального пространства tl А. Пусть x? = {Ult т|\} — некоторый атлас расслоения X, которому отвечает семейство {zt } сечений расслоения /а, таких, что — | Тогда при ограничении на Jir1(IZi) отображение F имеет вид F= [2,,7(21)] [Z1 или = (2l)i|3 і на U1.
Таким образом, в заданном атласе 4я отображение F принимает вид перехода к новому атласу V с морфизмами три-виализании = у-1 (2O ^ и> в силу свойства функции у, с теми 'же функциями перехода, что и V. Соответствующее преобразование F полевых функций Cfl и формы связности А сводится к калибровочному преобразованию первого рода
Фі = Фіф-*- Ф; = = фі^ф = У'1 (Zr) іріФ = у-1 (Zl)Itpl, A = аТ (Z1) А' = шТ (F(Z1)) = а>Т (Z1Y(Z1))
(см. Глоссарий. Связность на главном расслоении), но которое, в отличие от (3.1), вызвано изменением не системы отсчета, а самих полевых функций. Лагранжиан L и уравнения поля, записанные в атласе xF, инвариантны относительно F, и оно представляет собой калибровочное преобразование второго рода.
Существует взаимно однозначное соответствие между G-значными функциями у на tl Xe, задающими отображение F, и глобальными сечениями ассоциированного с X и Xa расслоения Xa, типичным слоем которого ,является тоже группа G, но в котором, в отличие от главного расслоения, она действует не левыми сдвигами, а по присоединенному представлению g : G-^gGg-1. Это определяет группу калибровочных преобразований второго рода как группу глобальных сечений расслоения Xa. Как видим, она отлична от группы G(X) калибровочных преобразований первого рода, но для данного атласа 4F изоморфна подгруппе G(X), включающей преобразования атласа 1F1 сохраняющие его функции перехода.
В янг-миллсовской формулировке калибровочной теории калибровочные преобразования первого и второго рода, как правило, не различают, а при формализации ее- расслоениями часто определяют в качестве калибровочных преобразований
30 или калибровочные преобразования только первого роДа , или только второго рода [6].
Калибровочная инвариантность лагранжиана L системы полей {ф, А} приводит к законам сохранения (1.17)-(1.19), записанным в некотором атласе xF. В обычной теории поля из дифференциального закона сохранения (1.17) следует, как известно, интегральный закон сохранения заряда Qm = JJmd3x. В неабелевой калибровочной теории решение вопроса, приводит или не приводит равенство (1.17) к интегральному закону сохранения, является своего рода водоразделом между двумя точками зрения на калибровочную теорию и геометризованные теории вообще.
Если строго придерживаться геометрической трактовки калибровочной теории, то ответ на этот вопрос будет отрицательным, поскольку интегрирование дифференциальных форм со значениями в расслоениях, имеющих неплоскую связность, не имеет смысла без параллельного переноса всех этих значений в одну точку, который, однако, зависит от пути и тем самым неоднозначен, т. е. уже сам заряд Qm как интеграл от локального тока не может быть определен.
Если рассматривать калибровочные и другие геометризованные поля как обычные- поля в плоском пространстве, как это и делали первые авторы калибровочной теории, то интегральные законы сохранения могут быть сформулированы. Однако при этом приходится отказаться от геометрической трактовки калибровочных полей, а следовательно, и от корректного введения и лолной классификации всех топологических чисел и за-, рядов в калибровочной теории [87—90], которых мы в данной работе почти не касаемся (см. § 4), но которые уже прочно вошли не только в классическую (солитоны, монополи, инстан-тоны), но и в квантовую калибровочную теорию [91].
Рассмотрим теперь ситуацию спонтанного нарушения симметрии в формализме расслоений. В этом случае лагранжиан L материальных полей ф и калибровочных Потенциалов A G-неинвариантен, но G (X) -ковариантен и, помимо полей ф и А, в калибровочной теории присутствуют хигґс-голдстоуновские поля о.
