- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
6фа дфа
можно рассматривать как функциональные уравнения на лагранжиан L, решение которых, однако, из-за тождества (1.6) всегда тривиально.
Нетривиальное решение для L получается, если предположить, что лагранжиан зависит от нолей, закон локальных преобразований которых включает производные от параметров преобразований. Можно показать [36, 5], что такими полями с необходимостью являются векторные поля A^ , принимающие значения в алгебре Ли с законом локальных преобразований
G(X)=Bg: Allm - gAZImg-1 - Sdilg-', (1.8)
или в инфинитезимальном виде
ImбсУ» (х): Anv. CnmhAlbam (х) + 0д6<ип (х), (1.9)
где Cmkn — структурные константы алгебры Ли В лагранжиан L эти поля должны входить в составе оператора обобщенной производной
D^d-AvTlm (1.10)
или тензора
F\i\,=p\*-Av —dvA^—CnhAjjAv, , (1.11)
называемого тензором напряженности поля Д/71.
В случае абелевой группы G = U (1), имеющей единственный генератор I = i и Cmkn = 0, выражения (1.4), (1.9), (1,10) пол- : ностью совпадают с выражениями (1.1), (1.2), (1.3), а (1.11) — с тензором напряженности электромагнитного поля. Это дает основание рассматривать преобразования (1.4), (1.9) как обобщение калибровочных преобразований (1.1), (1.2) в электродинамике на неабелевы группы симметрйй. Поэтому они тоже были названы калибровочными преобразованиями, а поля А»т — калибровочными полями. "
U * .
Более подходящим, хотя и получившим меньшее распространение, названием полей Ali"' является, по нашёму мнению, «компенсирующие поля». Оно прямо указывает на функцию, которую эти поля выполняют в составе обобщенной производной D11 — компенсировать члены вида d^igix)), g^.G(X), возникающие при локальных преобразованиях полей под знаком производные
ф'=?ф> «^ф'^^ф + дЛ^ф.-
В результате для Dllф закон локальных преобразований имеет вид
Dlф = <W — A?mImф' = gdtlff + (9М (g) ф — gA^Imф — ам (g) ф = gDvФ
(сравните с 0мф'= ^0,,9, когда g^G). Отсюда следует, что G (X) -инвариантный лагранжиан L можно построить непосредственно из обычного G-инвариантного лагранжиана простой заменой в нем операторов частных производных д„ на обобщенные Dix. Последние поэтому иногда называют компенсирующими, а приведенный подход к построению калибровочной теории — компенсационным. Он аналогичен построению электродинамики, исходя из условия ее инвариантности относительно локальных фазовых преобразований [30].
Калибровочная теория создавалась.ее авторами именно как обобщение электродинамики на Неабелевы симметрии, так чтобы в частном случае G = U(I) она полностью воспроизводила электродинамику.
Таким образом, для построения локально инвариантной теории мультиплет исходных полей {ф°}, называемых обычно материальными полями, следует дополнить калибровочными полями {Лцт}, отвечающими данной группе симметрий G, с законом калибровочных преобразований (1.8). Полная система полей {ф°, Ail"1) описывается лагранжианом
Dllff)+La, (1.12)
где лагранжиан материальных полей L, строится указанной выше заменой dyr+Dy. из лагранжиана свободных полей {<ра}, a La — лагранжиан калибровочных полей.
Последний, по аналогии с лагранжианом электромагнитного поля выбирается в виде
La = -L/?, (1.13)
а
гдб свертка по индексам т осуществляется относительно некоторой невырожденной G-инвариантной билинейной формы gmn На алгебре Ли-®. Например, если G полупроста, такой формой выбирается форма Киллинга gmn = c^fnb- Еош группа G ком-пактна, форма Киллинга является отрицательно определенной
и существует базис алгебры Ли в котором она принимает
» бйд gmn=—2omn. Константу et в этом случае выбирают в виде а = 8е2. В калибровочной теории внутренних симметрий обычно ограничиваются моделями с компактными группами симметрий, поскольку отрицательная определенность формы Киллинга гарантирует положительную определенность гамильтониана калибровочных полей в таких моделях.
Вариация лагранжиана (1.12) по полям ф° и Av"1 приводит к следующим уравнениям поля
= 0, (1.14)
DM<p°=const
dD?(pa дер
+ ф = 0. (1.15)
Лагранжиан (1.12) и уравнения поля (1.14)., (1.15) имеют вид лагранжиана и уравнений поля материальных полей ф", взаимодействующих посредством калибровочных полей Л/", источником которых, согласно уравнениям (1.15), (называемым уравнениями Янга—Миллса), являются токи симметрий Jm/ полей ф°. Это позволяет интерпретировать калибровочные поля A?m как потенциалы некоторого взаимодействия с группой симметрий G и константой взаимодействия є (е=|а|), которая
переобозначением калибровочных полей Лц ——Ац может
S
быть убрана внутрь компенсирующей производной Dtl — <3д — — гА'11. Причем, если алгебра Ли © разбивается на прямую сумму двух подалгебр, константа взаимодействия є может быть выбрана различной для Калибровочных полей, отвечающих разным подалгебрам.
Взаимодействие, потенциалами которого служат калибровочные поля, относится к так называемому минимальному типу взаимодействия, поскольку А/" входит в лагранжиан материальных полей только в составе компенсирующих производных.
