- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
В свою очередь, Уь-значные функции {ф} представляют собой глобальные сечения расслоения над базой SL (4, R) /L с типичным слоем Vl- Если такое расслоение тоже тривиально, можно выбрать постоянные функции ф, т. е. задать пару (о, ф), как и в случае и-нфинитезимального представления (9.4).
Таким образом, спин-гравитационное представление (gab, ф) группы SL (4, R) может быть распространено на все преобразова ния ГруППЫ И На ВСЄ ПСеВДОрИМаНОВЫ МеТрИКИ gab-
Мировые тензоры тоже могут быть записаны в виде индуцированных представлений группы SL (4, R). В частности, мировой вектор U11 отождествляется с парой (h^a, аа) тетрадного коэффициента Zill0 и лоренцевского вектора aa = li,fav.-
Действие генератора растяжений D группы GL(4, R) на представлениях группы SL (4, R) может быть задано произвольно, например на мировых векторах или как растяжение, сохраняющее длину вектора:
D-.Cf-^ka?, All-^-1A,,,.
или как конформное преобразование
D: cf ^>~kcf, a^ka», a2 -+k2 а2.
Последний случай, однако, сводится к предыдущему умножением а„ на скалярную плотность s:
Cf-HX11, Gtll-^S-1Cli1,
которая подчиняется закону преобразований D : s-v?2s.
Как следует из приведенного здесь рассмотрения представлений группы GL (4, R), именно индуцированные представления и представления на мировых тензорах составляют основную часть физически значимых представлений этой группы. Таким образом, расслоения, которые могут фигурировать в калибровочной теории группы GL(4,R), представляют собой или всевозможные тензорные произведения касательного и кокасательного расслоений, или расслоения на пространства VlX GL (4, R) /L индуцированных представлений GL (4, R). Но в последнем случае для существования глобального сечения такого расслоения, а именно для существования гравитационной части спин-гравитационного комплекса, должна иметь место редукция структурной группы GL (4, R) этого расслоения к группе Лоренца. Это воспроизводит ситуацию, которая возникает благодаря принципу эквивалентности в лоренцевской калибровочной теории гравитации. Но здесь она обусловлена требованием, чтобы
55 спинорные поля могли быть определены в произвольной системе отсчета, в частности в голономной системе отсчета.
Таким образом, гравитация расширяет лоренцевскую симметрию спинорных полей до спонтанно нарушенной GL(AtR)-симметрии.
Рассмотрим теперь связности GL (4, R) -геометрии. Калибровочные поля группы GL(A,R) содержат компоненты, отвечающие генераторам L, /,.D этой группы. В сравнении с калибровочными полями группы Лоренца, которые содержат символы Кристоффеля и тензор конторсии, GL (4, R) -связности включают также коэффициенты неметрического переноса В, отвечающие генераторам /, D группы GL(4,R). На касательном расслоении поле В определяется из выражения
D jj^f va 2-?v ait,
*r ,
и полная GL (4, R)-связность принимает вид (Г.9). Эта связность представляет собой наиболее общий тип связности на касательном расслоении и описывает геометрию Эддингтона на пространстве-времени.
Вейль был первым [26], кто предпринял пЬпытку обобщить гравитационную теорию учетом неметричности в частном случае, когда
Bva1H
является калибровочным полем дилатаций D.
В то же время, несмотря на более чем 60-летнюю историю, неметрическое обобщение эйнштейновской гравитации не получило столь широкого распространения, как, например, теория гравитации с кручением. По нашему мнению, главная причина этого состоит в том, что отсутствуют какие-либо наблюдаемые физические источники, которые могли бы быть отождествлены с нетеровскими токами, соответствующими генераторам IhD (они получили название токов гипермомента [140, 141]), и которые могли бы порождать соответствующие калибровочные поля, подобно тому как спиновый ток порождает кручение. К тому же такие калибровочные поля не сохраняют лоренцев-ские'инварианты и тем самым в GL(4, R)-калибровочной теории нарушается принцип эквивалентности.
§ 10. АФФИННЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
Другим естественным обобщением группы Лоренца пространственно-временных симметрий является группа Пуанкаре. Но получилось так, что калибровочная теория группы Пуанкаре стала не обобщением, а конкурентом калибровочной теории группы Лоренца.
Калибровочная теория гравитации, основанная на группе Пуанкаре, возникла сразу за работой Утиямы с целью устра-
56 нить неясность в калибровочной интерпретации гравитационного поля, которому не находилось места внутри стандартной калибровочной схемы [147, 148, 36]. Подход, основанный на группе Пуанкаре, ставил своей целью представить тетрадное поле как калибровочное поле трансляций, исходя из совпадения тензорных рангов тетрадного поля h/ и.трансляционного калибровочного поля А/. Но интерес к калибровочной модели группы Пуанкаре был вызван не только этим.
Пространством-временем СТО является аффинное пространство Минковского, и группа Пуанкаре, будучи группой движения этого пространства, представляет собой фундаментальною динамическую группу СТО, чьи унитарные представления описывают свободные частицы в СТО. Поэтому, для того чтобы калибровочная теория элементарных частиц была полной, казалось необходимым дополнить калибровочную теорию внутренних симметрий и спина калибровочной теорией группы Пуанкаре.
