- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
R,a = Ra\Jab\, R = RabiJabllv. (8.1)
Выражения (8.1) представляют собой известные тензор Риччи и скаляр кривизны. Подобные свертки невозможны в калибровочной теории.внутренних симметрий.
.Величины Rva и R, даваемые выражением (8.1), ведут себя собтветственно как тензор и скаляр относительно голономных калибровочных преобразований, и они обеспечивают дополнительную свободу выбора лагранжиана в калибровочной теории гравитации, в сравнении с теорией Янга— Миллса, в которой лагранжиан калибровочного поля может иметь только мак-свелловский вид. - ' :
Заметим также, что, в отличие от эйнштейновской теории,
50 цулъ кривизны не означает тривиальность геометрии Римана — Картана, поскольку, чтобы плоское по кривизне пространство * совпадало с пространством Минковского, необходимо обращение в нуль также тензора кручения. Это условие — нулевые значения кривизны и кручения — является также достаточным. Такая ситуация контрастирует со случаем внутренних симметрий и обусловлена тем, что плоское пространство Минковского является аффинным пространством. Его аффинная кривизна представляет собой сумму линейной кривизны и формы кручения, и оба эти члена должны обращаться в нуль в пространстве Минковского (см. § 10). Например, можно рассмотреть пространство с метрикой Минковского, но с ненулевым кручением; с неминковской метрикой и ненулевым кручением, но нулевой кривизной ["136, 137J.
Связь пространства Римана — Картана Ui со своими пре-' дельными случаями может быть проиллюстрирована диаграммой
где T4 — пространство телепараллелизма, Vі — пространство эйнштейновского ОТО, M4 — пространство Минковского.
В калибровочной теории группы Лоренца ничто не заставляет тензор кручения обращаться в нуль. Тем не менее тот факт, что эйнштейновская гравитация в калибровочном подходе не возникает в одиночку долгое время не удовлетворял ряд авторов. В первой своей работе по калибровочной теории Утияма, например, просто положил равными нулю антисимметричные компоненты связности (в отличие от работы Д. Иваненко [129]). И позднее Утияма и некоторые его последователи предприняли ряд попыток построения калибровочной теории только гравитации на основе калибровочных моделей группы трансляций, но все они в той или иной форме содержали симметризацию связности.
Калибровочная теория группы Лоренца представляет собой минимальную калибровочную модель, включающую в себя эйнштейновскую теорию гравитации. Эта модель дает адекватную ,калибровочную картину теории гравитации с кручением. Она является достаточной для описания как теории гравитации, так и пространственно-временных симметрий частиц, поскольку учитывает обе'их пространственно-временных характеристики — спин и тензор энергии-импульса. Ее первоначальная неудача была следствием недостаточности самого компенсационного подхода в применении к калибровочным ' теориям
** * 51
Рис. 2 пространственно-временных симметрий. Эта неудача стала причиной возникновения альтернативных вариантов калибровочной теории гравитации, базирующихся в основном на калибровочных моделях группы. GL (A, R) и группы Пуанкаре.
§ 9. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ОБЩЕЙ ЛИНЕИНОИ ГРУППЫ
Группа GL (4, R) является наиболее общей линейной группой симметрий в теории гравитации, а ее калибровочные поля представляют собой самый общий вид связности в касательном расслоении. Однако в большинстве случаев калибровочную модель группы GL(AtR) можно встретить в литературе как составную часть калибровочной модели аффинной группы GA(AtR) [138—141, 125].
Часто калибровочные преобразования группы GL(A1R) ошибочно отождествляют с координатными преобразованиями, что дало повод некоторым авторам, называть GL(AyR) пассивными сижметриями, локализация которых не имеет никакого отношения к общепринятой схеме калибровочной теории. Эти вопросы обсуждались, например, Ф. Хелем, Чо и др. [142], а исчерпывающий ответ дает их рассмотрение в терминах расслоений. ,
Группа GL(AtR) является структурной группой касательного расслоения над пространственно-временным многообразием Xі, и в калибровочной теории гравитации калибровочные преобразования группы GL(AtR) имеют обычный калибровочный смысл преобразований атласа Y касательного и ассоциированных с ним расслоений, тогда как общие координатные преобразования меняют атлас 1Fx многообразия Xі. Таким образом, координатные и калибровочные преобразования не коррелируют между собой. Такая корреляция, однако, может быть осуществлена специально, если ограничиться рассмотрением только голономных систем отсчета. В этом случае координатный атлас xFa- и атлас расслоения 1F связаны согласно (5.1) и преобразуются одновременно таким образом, что координатные преобразования (х) сопровождаются калибровочными преобразованиями (5.2) <Эц->- d?- = (дх^/дх11') ду касательного расслоения. Эти преобразования образуют голоном-ную подгруппу калибровочной группы GL(AtR) (X4).
Мы подробно остановились на этом вопросе, поскольку аналогичное смешивание координатных и калибровочных преобразований встречается и в калибровочной теории группы Пуанкаре (см. § 10).
