- Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
последние тоже должны меняться как вектора касательных пространств.
Однако {<?„} не являются какими-либо фиксированными векторами пространств Tx(Xa), а представляют собой прообразы <Зм = ,фі_І(4) базисных векторов типичного слоя Ra касательного расслоения относительно морфизмов тривиализации г}н некоторого голономного атласа.расслоения T(Xа). Поэтому преобразования {<3ц} не могут быть порождены каким-либо послойным отображением касательного расслоения, т. е. калибровочным преобразованием второго рода, а только преобразованием атласа расслоения T (Xі), т. е. являются всегда преобразованиями первого рода.
Действительно, даже если T(f) — послойное отображение касательного расслоения T(Xа), индуцированное диффеоморфизмом / многообразия Xа, соответствующее преобразование репера (*)} = {<3ц} вызвано не отображениями слоев Tx-+Tf(xi, а переходом от системы отсчета (*){?} в слое Tx к системе отсчета г|ч _1 (f(x) ){t) в слое В частности, всегда можно так подобрать системы координат в окрестностях ~х и f(x), что преобразование {<?„} будет тождественным.
Возвращаясь теперь, от преобразований {<?„} назад к преобразованиям g и материальных полей ф, мы получим, что калибровочная теория пространственно-временных симметрий в общем случае не допускает калибровочных преобразований второго рода.
Принцип относительности как калибровочный принцип ока- -зывается, однако, недостаточным для построения калибровочной теории гравитации. Он допускает общую аффинную связность, не фиксирует минковскую сигнатуру метрического поля g, а тем самым не может быть определена пространственно-временная структура на многообразии Xа. Остается неясным
42 статус метрического поля в рамках такой калибровочной теории. Хотя оно и вводится для обеспечения инвариантности относительно одного из типов пространственно-временных калибровочных преобразований, но не является связностью и не моЖет трактоваться как какое-либо калибровочное поле.
Все это делает необходимым привлечения для построения калибровочной теории гравитации принципа эквивалентности.
§ 6. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Как и принцип относительности, принцип эквивалентности продолжает оставаться предметом дискуссий [113—115]. Например, различают «слабый» и «сильный» принципы эквивалентности, предлагаются и более тонкие его градации [113]. Общим для всех формулировок и оценок роли принципа эквивалентности в теории гравитации является одно — он призван гарантировать переход от ОТО к специальной теории относительности (СТО) в некоторой системе отсчета. Трудность возникает с тем, что следует понимать под переходом к СТО.
Принято считать, что физический закон или уравнение приведены к спецрелятивистской форме, если они имеют такой же вид, как и в отсутствии гравитационного поля, т. е. критерием перехода к СТО в некоторой системе отсчета считается устранение в ней гравитационного поля. Однако, во-первых, такой критерий не применим к теории самого гравитационного поля, которую нужно уметь строить независимо от того, рассматриваются ли в ней какие-либо материальное объекты. Во-вторых, никаким выбором системы отсчета нельзя обратить в нуль тензор кривизны гравитационного поля даже в одной точке.
По этой причине требования принципа эквивалентности, как правило, ослабляют и рассматривают только законы, которые не содержат вторые и выше производные гравитационного поля («среднесильный» принцип эквивалентности [115]). Ta-' ковым, в частности, является закон движения пробных тел (характеризуемых только массой), для которого формулируется «слабый» принцип эквивалентности, требующий существования такой системы отсчета (называемой локаяьно-инерциаль-ной), в которой в данной точке уравнение движения пробных тел принимает спецрелятивистский вид. «Слабый» принцип эквивалентности считается подтвержденным экспериментально (проверкой равенства инертной и гравитационной масс).
Из «слабого» принципа эквивалентности обычно выводят принцип тождественности гравитационного и метрического полей, хотя такой вывод признается не всеми, а ряд авторов считают последний принцип самостоятельным (если не главным) принципом ОТО [114]. «Слабый» принцип эквивалентности фиксирует минковскую сигнатуру метрического гравитационного поля, но допускает произвольную аффинную связность, поскольку пробные тела, характеризуемые только мас-
43 сой в произвольной аффинной геометрии движутся не по геодезическим, а по наикратчайшим — геодезическим в псевдоримановой'геометрии, определяемым только собственно гравитационной составляющей (символами Кристоффеля) полной связности.-
Мы не ставим здесь целью дать исчерпывающий анализ принципа эквивалентности, яо хотим обратить внимание на трудности, с которыми сталкиваются его существующие формулировки. Не пригодны они и для целей калибровочной формулировки теории гравитации. Поэтому вернемся к бесспорной части принципа эквивалентности — он призван гарантировать переход к СТО в некоторой системе отсчета.
В геометрическом аспекте СТО можно характеризовать как геометрию инвариантов группы Лоренца (в духе эрлйнгенской программы Ф. Клейна). Тогда принцип эквивалентности может быть сформулирован в рамках калибровочной теории как.требование существования лоренцевских инвариантов и их сохранения относительно параллельных переносов в некоторой системе отсчета.
