Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
з 3
Перейдем теперь от уравнений общего вида к случаям непрерывного и дискретного распределения масс. Начнем со случая непрерывного распределения. Согласно (1.5), тензор энергии-импульса в этом случае имеет вид
г / P
k ^r- /
P-
Запишем это в виде
JL g*?
с2 s
где
¦Vа- -
Ua U0
a? / ив cc?\
J v = GV V -I7I + T j7
dxa
Разлагая (3.13) в степенной ряд
(3.12)
(3.13)
' t 0,2 кр (И0) , TC = -^-.
(3.14)
получаем
a = a —I— <з —j— . . ., (3.15а)
2 4
v = v + v +________(3.156)
і з
¦тс = itis-j— ..., (3.15b)
4 6
jjqo = o—tz, J0n = avn + avn,
4 4 4 5 4 12 3
Jmn = QVmVn+ OVmVn+ OUmVn-IrTZbmn. (3.16)
6 4 11 2 3 1 2 13 6
7 Зак. № 22298 гл. III. НЬЮТОНОВСКОЕ И ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Согласно (3.4), уравнение движения с индексом нуль дает
(а— Tz— ftfx'jx — XTVCA -Ir V4 4 J 2 2/|0
-I- (avn-\- avn — Г rfx'lx —х'Г1 o'atA —
4 1 2 3 J 2 2 1 /| п
Подставляя теперь выражения (3.16) в (3.11), получим
(со"-+- GVa + 2 Г dx' IX — х' Г1 оо' (t;a — 2v'a) —
Ml 2 3 J 221 1
— 4" г rfx' j x — х' i, , aa'f'6) + + +
1 2 2 1 /|0 N4 1 1 231 213 6
-)-2 frfx/|x-x/r1a/auo(t»a-2u/a)—4" Г«*х'|х—х'|1я , o'ow'V) —
J 2211 1 ' 2211/1 б
- Г fix 1 X-I ) l°'a + a°' - 04 — + J \ I * ' /1 а 2 4 24 24 24
4-a'a(^4-^^-4^V)] 4- f dx' Г dx" [x, x/, x% aaV +
2211 11 II J J '22 2
+ ^-/dx')x-x'|la6,ca'a^V = 0. (3.18) Эти уравнения определяют a и Vs, если тс задано как функ-
4 3
ция a и г». Они могут служить для перехода к более важной проблеме дискретных частиц. Однако и сама по себе проблема непрерывного распределения может представлять некоторый интерес. Вероятно, она применима в теории огромных туманностей, где нельзя считать внутренние скорости малыми по сравнению со скоростью света, или в каких-либо других проблемах космологии.
Перейдем теперь к более важной проблеме—к приложению общих уравнений (3.4) и (3.11) для случая точечных частиц. Здесь мы имеем
J-°° = 2t^(x —?)• (3.19)
л
Разлагая ц. и Sft в степенной ряд, получаем
„АД Л А А А А
^=-2^,/ + 2^. B = S(x-I). (3.20)
4 А 2 1 2 A4
Здесь и в дальнейшем мы будем опускать индекс, стоящий под величиной, если он является наинизшим в разложении данной величины. Так-, под і* следует понимать величину fj. или, допуская§ 3. УPABH. ДВИЖЕНИЯ В ПОСТ-НЬЮТОНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 99
погрешность В четвертом порядке, величину [1.-)-11.. Имеем
2 4
Jw = So^-(3.21а)
4 С 4 1 2
„ CCC CCCC CCC
= 2 (ц 8 $",0 — (18 /Snl 0 + Г а е"ю). (3.216)
5 С 4 1 2 3
„ CCC С CCC CCC С CC CC с
Jmn = 2 (Р 8 SmI oS ",o-hpt 8 ,oS"i0+^ 8 -I0 - Jt 8, ^Sm ioS "і о)-
6 С 4 3 3 2
(3.2ІВ)
Подставляя эти выражения в (3.2) и (3.7), мы хотим найти интегралы
fj-\dx и Cj-ma^dx, (3.22)
А 5 X 6
a S
А
где 2—малая область, окружающая А-ю частицу. Следовательно, нам придется иметь дело с интегралами типа
fdxf dx'f (х, х') 8 (х — §) 8 (х' — |). (3.23)
A 2
ГІ
Так как Q обозначает все пространство, то интегрирование дает следующий результат:
в с
/(§. &ЬАВ- (3-24)
Итак, имеется простое общее правило для расчета интегралов типа (2.23). Однако случаю B = C следует уделить особое внимание. А именно, если / — сингулярная функция, например
/=|х — х'Г1, (3.25)
то имеем
II-Ir1=Z-^i=OO для A = B. (3.26)
Но именно в такой ситуации вступают в силу соображения, которыми мы руководствовались при выборе „хорошей" 8-функции.
А В
Наши 8-функции устраняют вклады такого типа. Если же /(§, §) имеет конечное значение при A = B, то ее вклад, разумеется, необходимо учитывать. Это имеет место, в частности, для выражений типа
ABC
V JUUL.. (3.27)
' я d
в с AB AC
7*ioo глі-іїт: ньютоновское и' пост-Ньютоновское приближения
Здесь мы видим, например, что нельзя пренебрегать выражениями с B = C, так что получим ..........abc abc ab
Srii^=S ViiT^¦ <3-28>
вТс АВ АС вГс АВ АС в rab ;
где 2 означает, что суммирование не распространяется на случаи B = C, A = B л A = C.
После этих замечаний расчет не представляет труда. Начнем
А
с вычисления [t из уравнения (3.2). Интегрируя это уравнение
, 4
а'
ПО Q, используя ньютоновские уравнения движения и то обстоя* тельство, что выражения, имеющие вид дивергенции, не дают никакого вклада, получаем
A АВ. л А А А
{X : 4
v-i г . .. і А Л А
2 ^JL+^5VV (3.29)
Это выражение нужно подставить в (3.21). (Произвольную аддитивную постоянную можно считать включенной в (і.) Остается
2
непосредственный расчет, который в конце концов приводит K слег дующему результату:
ГAAa f \ АА А vyts \ Л
Ы 10+( YIj-^ 10+ 3 zi wab HaIO-
3
В '
в
|0
S' ab _хва 1 Bs
^rAB^a}о— Y Zj IiK А в ^s в в АВ\Ьа1*
i /а в ^ art ^ is я
— S Ja Ja Г * ' taAs + ^s(rAs) AeBs1F-
TT 12 15 6 2 I ? ? J
IS
Sr ab, з л aj bs as bs \
P-і* (Y ^ioS |0 + Y IoS-yIO — 4^10^10)\гав)А +
' J--^r/ ABAr B A B _2 .
"Kl +2" 'Zj P-^ioSV'" aba Pt* Oi+ IWAS) Ae + .-