Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
4
знать, что эта величина убывает как 1 Jr при г—»-ос.
Сделаем еще одно- замечание, связанное с историей развития проблемы. Когда уравнения движения были получены впервые в 1938 г. с помощью некоторых поверхностных интегралов, то для этого требовалось знание величин
hOO' hmn> Kn' hOO' hmn' Kn' (2-26)
2 2 3 4,4 5
причем первые три величины были нужны для ньютоновского, а три последние, значительно более сложные величины,—для пост-ньютоновского приближения. Позже было выяснено", что если использовать равенство = то необходимо знать
лишь
hOO' Knn- Kn- hOO- (2-27)
2 2 3 4
Как мы установили теперь, для формулировки пост-ньютоновских уравнений движения нам нужны такие же сведения о метрическом поле, какие в 1938 г. требовались для вывода ньютоновских уравнений движения; соответственно для пост-пост-ньютоновских уравнений движения нам необходима теперь такая информация о метрическом поле, которая прежде требовалась для пост-ньютоновских уравнений движения. При теперешнем состоянии теории мы смогли бы без особых затруднений найти пост-пост-ньютонов-ские уравнения движения, если бы это имело какой-либо физический смысл.
§ 3. Обобщение
До сих пор мы рассматривали движение сферически-симметричных невращающихся тел, которые представлялись сингуляр-ностями типа единичного полюса. В этом параграфе мы покажем, как можно обобщить принцип действия, чтобы включить в рассмотрение случай вращающихся тел, которые мы будем представлять в виде сингулярностей типа полюс — диполь в гравитационном поле.
Мы видели из формулы (1.22), что варьирование по gя9 при выполнении некоторых условий на границе приводит к уравнению
8 / Vr^s0 dx = ~ f -T ^k) 8^?<3-118 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЙ принцип и уравнения движения
Следовательно, вариационный принцип
8 / V^g G - tog.tf*9) dx = 0 (3.2)
(где с= 1 и гравитационная постоянная &= 1) даст уравнение гравитационного поля при условии, что Ja^ не зависит от g .
Используем теперь (3.2) как определение уравнений Лагранжа и будем варьировать лагранжиан по Рассмотрев в качестве примера случай простых сингулярностей, т. е. положив
N Aa а А
<Г3=2цИр&. ё» = SV (з-з)
a=i
мы в самом деле получим правильные уравнения движения, совпадающие с уравнениями (7.8) гл. I, если будем рассматривать ja как некоторую известную функцию времени. Следовательно, можно и в общем случае считать, что вариация (3.2) дает нам правильные уравнения движения, конечно, при условии, что Jkl^ не зависит от O-^v и что а является функцией времени, которая определяется дополнительным уравнением J-fl^p = 0. Можно ожидать, что таким способом нам удастся получить также правильные уравнения движения в случае сингулярностей типа полюс—диполь, которые представляют вращающиеся тела и описываются выражением
^AA і А
= S O^3S — tra:i 8,г). (3.4)
A= 1
§ 4. Лагранжиан типа Фоккера для вращающихся тел
Нашей целью является получение лагранжиана типа Фоккера, который приводил бы к пост-ньютоновским уравнениям движения вращающихся тел. Тела характеризуются теперь набором A3 А
параметров t04 и trafi. В согласии с общими рассмотрениями в гл. III разложение этих параметров в ряд должно начинаться для (а, ?)=(0, 0), (а, ?)=(0, г) и (а, ?)=(/\ s) с величин порядка 2, 3 и
А
4 соответственно. Однако t дало бы вклад в ньютоновские
2
уравнения движения через посредство A00. Чтобы избежать этого
2
А
усложнения, будем начинать разложение tm с члена третьего порядка.J 4. ЛАГРАНЖИАН ТИПА ФОККЕРА ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ Ц9
Плотность тензора энергии-импульса (3.4) не приведет непосредственно к точному лагранжиану. Предварительно нужно вы-
А 3 А і
разить коэффициенты t и tm? через Ea и i* jo- Это можно сделать, используя уравнения
M
- (А.->+> {;„}+г?-» {;„}+
А ., і а 1 \ -A AA А А
( + C"V10-O »I
(4.1)
интегрируя которые по трехмерным окрестностям сингулярностей, получим
A AA
f + +
д 10 0 J ' (Or)' (/-Sj1
A AA
-Mrt0Ion) + { ; \ + M M =0, (4.2)
1 IOOjtr 1 Vs0Mr ' і S і Hr
А
А
(4.3)
А
J (ХГ — ?Г) (X^ — Ъ 3:a?; 3 rfX =
A 2
= + —— tsw =0. (4.4)
Уравнения (4.2) с a = Q дают в третьем порядке
= J10 = O. (4.5)
з 3
Аналогичным образом (4.3) дает
Z0r = Jri0l (4.6)
3 2120 ГЛ. TV. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И УРАВН. ДВИЖЕНИЯ
а (4.4) дает Вводя обозначение получаем из (4.7)
3 А „ 3 = 0. (4.7)
_^fsOr _ а .4 3 (4.8)
rOs _ А — і*°г 3 1 ~~ 2 А Srs. 3 (4.9)
А
Здесь Srs следует интерпретировать как ньютоновский собствен-з
ный угловой момент Л-го тела, поскольку эта величина равна выражению
-tr) Xos-(Xs-^)ZorIdx. (4.10)
M 3 3
А S
При а= т уравнения (4.2) в четвертом порядке дают ньютоновские уравнения движения. Уравнения (4.3) и (4.4) при а= т. дают в четвертом порядке
A AA А
/"" = ^fVV (4.11)
4 2
-Smrl0 = O (4.12)
з і
и
А і A A AA
trst = 4 10+ Sr^sIo). (4-13)
4 З З
Уравнения (4.12) показывают, что, как и следовало ожидать, ньютоновские собственные моменты сохраняются. Подытожим полученные результаты: в рассматриваемом приближении вращение