Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
2 3
рядка —1, а все их производные в силу ньютоновских уравнений движения имеют порядок по крайней мере —2 по л.
Начнем с вычисления величины У— g О с точностью до членов шестого порядка включительно. Непосредственный расчет, правда, довольно длинный, приводит к следующему результату:
V~g G -f- V~g O = -Y + УРі „Ті „ — j" cPiocPio +
' 4 ' 6
+ 2cPl mKm IO — T Aoi I "Л)«! Ami г ~ ?) ,Ao ,»' <2"3)
3 j o о OO 4
Легко видеть, что это выражение инвариантно по отношению к замене
Лот-* A0m + а0|т, /Z00Aoo+ 2OoIо, (2.4)
3 3 4 4-
что не должно вызывать удивления ввиду того обстоятельства, что а0, как мы знаем, не появляется в уравнениях движения. Следовательно, можно потребовать, чтобы величина A0m удовлетво-
з
ряла координатному условию
= = = (2-5)
'Формулу (2.3) можно переписать в виде
V—gGAr V— g G = Y W| „ — -J cP2cPi w + у ЙОЛ /Aom —
> и - ^wi—»• ¦» II ' 3 3
4 6
— 4- A0a IiAa + cPIsshОд + W^0 IO + WmI(2.6)
-з 4-
8 Зак. № 222 П4 гл ,v- ВАРИАЦИОННЫ И ПРИНЦИП И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
где W и Wm имеют вид
W0--
: 2tPl »Joh,-
Wm = —4г( Ф —ср2
•2 h
00
2'(hA^
+ -g-A,
2 gOZ im дОГ
(2.7)
Напомним, что условием существования лагранжиана является обращение в нуль интеграла (1.28). Из формулы (2.3) и из того обстоятельства, что величины Sg-^ имеют по крайней мере порядок — 1 по г, следует, что подынтегральное выражение в (1..28) по крайней мере порядка —3 по г. Следовательно, интеграл равен нулю, и тем самым доказано существование лагранжиана с точностью до членов шестого порядка включительно.
Далее, из двух последних уравнений следует, что при взятии интеграла от —gO можно опустить два последних выражения в (2.6). Что касается W0, то это можно сделать в силу обращения в нуль на концах временного интервала вариаций величин и Iftj0. Для Wm причина заключается в том, что эта величина имеет по крайней мере порядок —3 по г и, следовательно, поверхностный интеграл от нее обращается в нуль. Итак, полагая
ISS
можно написать
ЛЛ лл л
Aoai-w = —16ic2t*?e,o8. A3 .А
(2.8)
VaT1- і і z U j 1 Z
4 L 4
+ з , 16- f hoi\lhom\т dx\ .
(3)
(2.9)
Особого внимания требует последнее выражение в этом уравнении. Имеем
г Т'0а
aa
tO а
Следовательно, можно написать / Aoл Ih0ml m dx = 16 f dx' dx" dxJ'0lJ"'°m (,¦
(2.10)
1
С" l), г,
X-X' I I х - X' 1/( Vm"
(2.11) §2. ЛАГРАНЖИАН ВПЛОТЬ ДО ЧЛЕНОВ ШЕСТОГО ПОРЯДКА Ц5
Возьмем сначала интеграл
С=/~х-х'Нх-х"1 • (2-12)
Отсюда следует
C1^ = - 4.Jdx = - ^pt (2.13)
и поэтому
С = —2те|х' —х"|. (2.14)
Подставляя это в (2.11), можно без труда произвести интегрирование по остальным переменным, как это было описано в § 3 предыдущей главы, причем мы придем к следующему результату:
С WАв А1 Вт
j hoi\thom\mdx== — 32тт jxji/r Л8и |o5mio- (2.15)
А, В \ ABlZ1Zm/
Итак,
L"-l-L" = — ( X^ А Г I ~ I- 1 ~ А I-
4 6 * 1 LT? + T^^'O + T*'»
А 4
AB A1 В
1 VI I т
— -T Zj ^Vr А в Z \ о) ¦ (2.16)
те . _ -1 -т
ABli1Im ,
Покончив с этой частью расчетов, перейдем к вычислению L':
L' + L' = —2 Щщс (IrJal оРю)^ (2.17)
4 6 А
где, согласно (1.13), т(0) связана с ^ соотношением
4 А А л л
f/.C2 .— Ca Ca \'/г /п ,
W(O)=V^-P5 IO^ I о) • (2Л8)
ил и
А С2 А
/?i(0) = -T-[J. = const. (2.19)
Я 2
Следовательно,
А А
А
¦ T
JIttr C3 V / 1 1 -S Ь Iі- 1
л ,А А О aA А А А 1 А 1
(Г,of,О? + - + hoa^o + Y *oo) • (2-20)
Как видно из (2.9), члены с A00 из L' и L'' взаимно уничтожаются,
4
так что отпадает необходимость рассчитывать эту величину в явном 116 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫй ПРИНЦИП И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
виде. Из (2.20) следует также, что при замене
hOs на aO*+ aOU И flOO "на А00 + 2flOIO (2'21)
.3 3 4 4
лагранжиан изменится на величину
А ¦ А А
ао),0' '(2-22)
что не отражается на вариации L и, следовательно, на уравнениях движения.
Опуская постоянный множитель c3/k, получаем из (2.20) и (2.16)
_ 4 __. ГЧААА - а А А . , _ л А
*=- 2 м-S * * °4"10 +4 - т2 U - .
AA А
1 V1 А~ 1 А А 3 А ~А А
~"8 ZifjtP2- YЪ ^ flOa ^aIO--4-2d ^cP5aIO;аю —
А А А
J ^1/ AB A Bb
— T Zi (2-23)
AB
A A^
Подставляя сюда вместо ср и A0a их выражения
з
а в А BB
®=-2 IiVrA1B, A0.,= 4 2-JLTli SV ' (2.24)
В 3 в
получаем окончательно
V^ А 1 V^ А Аа Аа 1 V^' А в -1 1 V^a Аа Аа
L = — 2ші i1+!^ t* ^0 0+2" 2j -V-Vab+Y^ P (Sa|oSa|o)2 —
AA А, В A
j ^/AB A B 1 VV ABC
-4 Z I* Iі Cl1+I*) rAB- 6- 2j ^ ^ ^ (rABrBC + rBCrCl-+-A, B A,B,C
'AB BA 3 'ABAA BB
C1ArAB)-'2Zi НКаІ ^loSa|o+r2j ^^(Sa|oSa|o+Sa|oSaio)T^
A, B A1B
1 --,/AB AB
2 ^KABiMfcSalOt6IO • (2.25)
A, B
Этот лагранжиан совпадает (с точностью до тривиальной постоянной) с лагранжианом, который мы предположили в предыдущей главе. I ¦ .
§ 3. ОБОБЩЕНИЕ 11,7
Таким образом, мы не только нашли лагранжиан типа Фок-кера, приводящий к правильным пост-ньютоновским уравнениям движения, но и сформулировали общие условия существования такого лагранжиана. Мы выяснили, что для получения этого лагранжиана не нужно знать явного вида величины A00. Достаточно
