Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если потребовать, чтобы лагранжиан Фоккера был инвариантен, кли, точнее, чтобы была инвариантна вариация S (Ldx0), а также чтобы он зависел только от х°, 5 и Siо. то возможности выбора выражения для него становятся крайне жесткими. Предположим, как это делалось ранее, что
S01B = ^e 5в,„). 0-15)
Поскольку мы хотим, чтобы в уравнениях движения появлялись только вторые производные величин I* (х°), то нужно по возможности избегать высших производных от Эти требования по существу ограничивают наш выбор выражением
L"= fV^^Gdx, (1.16)
а(3)
где
O=WlpHeH pWeD <1Л7>
Ч W J I HP j I H^ M P0 і /
и интеграл распространяется на все трехмерное пространство. Если записать вариационный принцип
Sjdx0 J yr~g G rfx = 0, (1.18)
• х'° - 2,3)по гл. iv. вариационный принцип и уравнения движения
то легко видеть, что левая часть этого уравнения является инвариантом, так как ]/ — g G отличается от У—g R только слагаемым, которое может быть представлено в виде четырехмерной дивергенции.
Сначала мы варьируем У—gO по Это дает
-Ь*f^r"^+ IiWls*-'** •(іл9)
Jf'0 -V) а*3)
Здесь Z(2)—бесконечная двумерная поверхность, охватывающая все трехмерное пространство. Далее, вариации величин g^ обусловлены варьированием входящих в них величин ? и aj|o- Мы получим
bUs+ Sg- Bj 8І' (1.20)
В силу нашего предположения об обращении в нуль на концах временного интервала величин и их производных по времени последний интеграл в (1.19) равен нулю. Однако с поверхностным интегралом дело обстоит иначе. Попробуем сделать допущение, что этот поверхностный интеграл просто равен нулю,
г. е. потребуем выполнения условия
J ? = 0і
J 0Sotp Ii -(2)
где оga? определяются формулой (1.20). Из изложенного в гл. I, § 4 следует известная формула
V aga?(l V 2s /
aa a a = = 8^2^^,0^1()8. (1.22)S 1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ'
111
Таким образом, учитывая выражение (1.20) для Sg"^' получаем "0
х AAA *
О f L" dx о = ? 8* { ,0
'0 А, В
X
АЛ, А А. ч ^B V-, лЛ, А А„ В
¦(К^РЫ'М ^ + S ^fr10S" о«Р.о8Ґ
1 А, В 1
.«0
(1.23)
Последний член здесь снова равен нулю вследствие произволь-в
ности 85. Таким образом, мы снова пришли к неверным уравнениям движения, а именно:
оP ,0 - J 0^' оV= (1 -24)
А
Наше длинное доказательство почти завершено. Мы замечаем, что с точностью до множителя - 112 это в точности те выражения, которые привели к трудности в уравнении (1.14). Итак, взяв линейную комбинацию этих двух лагранжианов и потребовав выполнения условия (1.21), получим правильные уравнения движения.
Подведем итог изложенному. Можно получить уравнения движения третьего рода из лагранжиана
А ААА
Z. = -(^p?" і О^ю)''' +-i^f f V^jGdX, (1.25)
A Q
(3)
где
с-ишиьи,}{;л)- °'2б>
Для того чтобы из принципа действия
х"0
о J Ldx0 = 0 (1.27)
X'0
получались правильные уравнения движения, необходимо, чтобы вариации величин sa и обращались в нуль на концах времен-нбго интервала, а также чтобы выполнялось условие
fdl a^0Mgrt = O- (1.28)
J 0SaB і S112 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Мы получим дифференциальные уравнения второго порядка для 3Af
А
величин. 5 "(jc°).
Величины Jl вводятся формулой
J = (1-29)
которую мы рассматриваем как определение инертной массы, фигурирующей в определении J"^,
J"3 = SjtvVs. (1.30)
А
Таким образом, если только выполняется условие (1.28), можно, используя определение (1.25), найти лагранжиан,. который применялся в предыдущей главе без указания способа получения; при этом, конечно, необходимо проверить, выполняется лиусловие (1.28). К этой задаче вычисления лагранжиана мы и переходим.
§ 2. Лагранжиан вплоть до членов шестого порядка
Вычисление лагранжиана вплоть до членов шестого порядка не встречает никаких затруднений. Однако при этом возникает одно удивительное обстоятельство — оказывается, что для вычисления такого лагранжиана нам нет необходимости знать величину A00. Достаточно знать только величины A00 и A0m, расчет
4 2 3
которых, как мы знаем, не представляет труда. Фактически единственное затруднение при выводе уравнений движения шестого порядка или уравнений движения вплоть до членов шестого порядка из факта равенства нулю выражения J-a^ состоит в нахождении A00.
4
Теперь нам не нужно уже этого делать. Единственное, что необходимо знать о величине A00, это то, что она убывает на беско-
4
нечности как 1 jr. Но в этом можно убедиться и без вычисления A00
4
в явной форме (хотя этот результат нам уже известен из гл. III, § 2). Действительно, A0O|SS может зависеть только от величин 4
^00100 = ^100' <Р|,?|,. <Р,„<Р- (2-
2.
11'
Но величины и .cp|JS<p при г.-г*- со имеют по крайней мере
порядок —4 по г и, следовательно, их вклад в A00 по крайней§ 2. ЛАГРАНЖИАН ВПЛОТЬ ДО ЧЛЕНОВ ШЕСТОГО ПОРЯДКА 113
мере порядка —2 по т. Рассмотрим теперь вклад, даваемый величиной св[00. При г—>ео мы имеем для ср
А А
Вследствие ньютоновских уравнений движения ф|00 является величиной rio крайней мере порядка —3, и поэтому вклады, обусловленные этим выражением, по крайней мере порядка —1 по г. Как будет видно из дальнейшего рассмотрения, это обстоятельство обеспечивает обращение в нуль поверхностного интеграла (1.28), что являлось условием существования такого лагранжиана. Заметим, между прочим, что A00 и A0m также являются величинами по-