Движение и релятивизм - Инфельд Л.
Скачать (прямая ссылка):
Дипольный метод был описан в последнем параграфе гл. I. Напомним, что идея этого метода состоит во введении искусственного векторного поля Da. Оно было введено таким образом, чтобы тождества Бианки тождественно выполнялись. Это значит, что уравнения движения выполнялись тождественно для произвольного движения. Таким образом, вводя искусственное поле Da', отказавшись от эйнштейновских уравнений, мы разорвали связь между полем и движением. Мы смогли бы найти поле для этих неэйнштейновских уравнений, а движение оставалось бы произвольным. Итак, ничто не стоит на пути расчленения уравнений по порядкам и постепенного нахождения поля и величин D. Следовательно, мы смогли бы шаг за шагом найти утп, 700, у0п, Dk, D0. Допу-
! I 1-у 1 I 1+1
стим, что мы здесь остановились. Тогда можно превратить решение неэйнштейновских уравнений в решение эйнштейновских уравнений, полагая
Dft-I-Dft4- ...+ Dft = O, (6.13а)
4 5 I
... H- D0=-O.
3 4 ZH-1
(6.136) 87 ГЛ. II. МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Это значит, что только в конце нашей процедуры приближений мы находим уравнения движения, которые до тех пор были произвольны. Действительно, из последних уравнений, согласно (10.11). следует
••• = (6.14а)
4 5 I
J^;,+ Ji0f;,+ - = (6.146)
3 4 l + l 4 '
Таким образом, этим методом получаем уравнения движения сразу же по окончании вычисления поля.
Следовательно, в принципе возможны два метода. Первый состоит в разложении масс и движения в ряды
(6.15)
Разбивая уравнение движения на части, можно найти последовательно
[X, {Л, {i, . . '.; Ik, t..........(6.16)
2 4 5 0 2 3
Мы будем говорить, что такие методы состоят в использовании метода приближений определенного порядка.
В другом методе, разобранном для дипольной процедуры, мы не разбиваем уравнения движения. Мы рассматриваем
Ц, Ik (6.17)
как произвольные, которые в конце наших вычислений находятся сразу с точностью до определенного порядка, т. е.
f* , (6.18) я +2 п
Стрелочки означают, что [а и % являются величинами не некоторого определенного порядка, а вплоть до определенного порядка.
Поскольку наши вычисления касаются ньютоновского и постньютоновского движений, разница между этими двумя методами невелика. Будем поступать следующим образом: начнем с ньютоновских уравнений движения
P- = ^H-H- Ч- • • • .
2 4
Sfe = Eft-Kfe+ ... •
О 2
J-0V = O; JjmV = O.
3 4
(6.19) § 6. ДВЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
87
Затем перейдем к пост-ньютоновским уравнениям движения
сГ04;,+Jl0v1V =0,
3 5
(6.20)
<7""v;,+<7mV = o.
4 6
Однако в J1 и J1 введем ньютоновское решение, уже известное
5 6
из предыдущих ступеней приближения.
Эти замечания заканчивают нашу общую теорию метода приближений и теперь можно перейти к конкретным вычислениям. ГЛАВА III
Ньютоновское и пост-ньютоновское приближения
§ 1. Ньютоновское приближение
В этой главе мы получим уравнения движения в явном виде, используя описанный выше метод приближений. Начнем, конечно, с ньютоновского приближения и получим ньютоновское и постньютоновское приближения в трех аспектах, как об этом упоминалось в предыдущей главе, начиная со случая тензора энергии-импульса общего вида и переходя затем к непрерывному и, наконец, дискретному распределению масс. Итак, ньютоновские уравнения движения, т. е. уравнения движения наинизшего приближения. имеют вид
^001O+Jj0aIa = О, (1.1а)
2 1 3
J0m10 + J"V+ 4- Aoo ImJj00 = о. (1.16)
3 14 z 2
Следовательно, чтобы полностью выписать эти уравнения движения, достаточно знать A00. В силу уравнений (5.31) и (5.27) гл. II имеем 2
Aoo = — = -16<Ґ<». (1.2)
2 z 2 2 1 2
Если принять допущение, что величина A00 обращается в нуль
2
на бесконечности, то отсюда будет следовать
A00=-2 Г dx.'J''00 I X — х/|-1. (1.3)
2 І 2
Штрих у величины J''00 означает, что ее аргументами являются x'k 2
и х°\ произвольная аддитивная гармоническая функция равна нулю; 2 означает все пространство. Следовательно, ньютоновские уравнения движения будут иметь вид
«Ло+<Ла = 0, (1-4а)
2 3
Jl0mIO+ JjmV- ГdTL'J"00JWlx =0. (1.46)
З 1 4 J 2 2 VIх * 1/1 т S 1. НЬЮТОНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
89
Перейдем теперь к случаю идеальной жидкости, которая описывается следующим тензором энергии-импульса:
+ ir ff)
(1.5)
о
причем предположим заданной зависимость
P = P(P) или р = р(р). (1.6)
Следуя нашей общей схеме, нужно теперь установить порядок первого члена в разложении по X. Так как Uk начинается с члена первого порядка, а м° и ~\f—g— с членов нулевого порядка, то из вида формулы (1.5) следует, что разложение р начинается с члена второго порядка (как ранее это имело место для ja), а разложение р — с члена четвертого порядка. Таким образом,
J1OO==O, Jj0n = av", Jlmn = CSVmVn^Vbmn, (1.7)
2 2 3 2 1 4 2 1 1 -4
где
» = = * = А^-г/л'о'їх-х'Г1.
Следовательно, ньютоновские уравнения движения имеют вид
= (1.8а)
2 J 2 1
(^m), о + (WV)1 „ + т — Г dxWa ( * Л =0. (1.86)
