Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
точности
Доказательство теоремы 2.2. Основная техническая трудность заключается в
доказательстве бесконечномерного аналога соотношения (2.6). Мы будем
использовать свойства следа в классе ядерных операторов, рассмотренные в
§ II.7.
Лемма 2.1. Пусть М - положительный эрмитов оператор, {ТП} - монотонно
неубывающая последовательность эрмитовых ядерных операторов, слабо
сходящаяся к единичному оператору. Тогда Tr ТпМ J Тг уИ; в частности,
если sup Тг ТпМ < оо, mo М - ядерный.
п
184
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ IV
Доказатель ство. Пусть {"/} - некоторый базис в ; тогда
Тг ТпМ = 1тУМТп\гМ = '^(УМе1\ Тп /Ж е,).
i
В силу свойств последовательности {Тп} имеем (У М е/ \ Т nV М ej) ^ УМ
е,- | Ум et) = (е/ \ Me Л. По известной теореме о монотонной сходимости
2] {уМ е/\Т "У1М ej) f (е/ /Ие,) = Тг М.
Лемма 2.2. Пусть {М(В)}-ковариантное измерение. Тогда Тг М (B) = v (В). В
частности, если v(B)< оо, то М (В)-ядерный оператор.
Доказательство. Выберем расширяющуюся последовательность компактных
множеств {Вп\, покрывающую 0. Рассмотрим операторы
Тп= S VgSVlMdg). (2-15)
Вп
где S - произвольный оператор плотности. Так как р (Вп) С оо, и 1М^1т =
Тг KgSKg=l, то интеграл (2.15) определен как интеграл Бохнера от функции
со значениями в банаховом пространстве Т1 (а%П ядерных операторов, так
что Тп - ядерный. Так как KgSKg^O и Вп s Вл+1, то 7'л=^7'"_.1. Кроме
того, Тп-+1 слабо в силу (2.13). Последовательность {Тп} удовлетворяет
условию леммы 2.1, и, значит, Тг М (B) = lim Тг Тп М (В). Но в силу (2.2)
П
lim Тг ТпМ (B) = lim f Тг (В) р (dg) = v (В),
п
и лемма доказана.
Пусть {еД- базис в <&У. Рассуждая как при доказательстве теоремы 2.1, из
леммы 2.2 получаем
| (е, ] М (В) ej) | ==? v (В), 8е^ (В),
откуда по теореме Радона - Никодима для скалярных мер
(el\M(B)e?)= J/>у (в) v (<й), (2.16)
в
где pi] (в) - определенная однозначно v-почти всюду плотность,
удовлетворяющая неравенству |/>у(6)|г?1. Из положительности оператора М
(В) вытекает положительная определенность бесконечной матрицы \Pij(b)\
при v-почти всех 8. Так как по лемме 2.2 ^ (е,-1 М (В) е,) = Тг М (В) = v
(В), то ^ Ра (б) = 1 при v-почти всех 8, i i
Таким образом, [ру{В)] является матрицей оператора плотности
В(6)=_?р</ (б)Ю(е/|.
И
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЙ
185
Из (2.15) вытекает, что для любого ф е
(ф | М (В)ф) = $(ф |P(fl)T|))v(de),
В
т. е. что
М(В)= $P(6)v(d6) в
в смысле слабой сходимости. Утверждение об интегрируемости по Бохнеру
вытекает из стандартных рассуждений, и мы опускаем его доказательство. Из
условия ковариантности, как при доказательстве теоремы 2.1, получаем Р
(6) = VgP (60) У|. Полагая P(0o) = So, получаем представление (2.14).
Обратно, если S0 - оператор плотности, удовлетворяющий условиям теоремы,
то, определяя М (В) по формуле (2.14), где интеграл понимается в смысле
слабой сходимости, мы получаем семейство операторов {М (В)}, обладающее
всеми свойствами разложения единицы. В самом деле, М (В) 3:0, так как
подынтегральная функция положительна. Счетная аддитивность вытекает из
соответствующего свойства интеграла:
j (T|3|P(6)T|))v(d6)=2 j (Tj5 I Р (6) Тф) V (rf6), у в.
если ВгПВу = ф при (?=/. Наконец, условие нормировки М(в) = 1 вытекает из
(2.13). Теорема доказана.
§ 3. Измерение параметров в ковариантном семействе состояний
Пусть 0 -вообще говоря, многомерный параметр, описывающий определенные
аспекты приготовления состояния (например, положение экспериментальной
установки). Каждому 0 из области допустимых значений (c) соответствует свой
оператор плотности S0, так что имеется семейство (S0; 0е0} состояний в
е5Г. Допустим, что на параметрическом множестве (c) действует группа
преобразований g: 6->-ge, которая имеет представление g-^-Vg в
гильбертовом пространстве . Семейство {S0} называется ковариантным по
отношению к этому представлению, если
S*0 = V*S0VI; 6е(c), g<=G.
Фиксируем "начало отсчета" 0О; состояние 50о = 5 должно быть инвариантно
относительно подпредставления стационарной подгруппы G0 точки 0О: S =
V^SV|, geG0,
186
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
так что можно написать
Sb=VgSVl (0=g9o). (3.1)
Предположим теперь, что объект находится в одном из состояний {S0}, но
истинное значение параметра 0 неизвестно и задача заключается в том,
чтобы по возможности точно оценить это значение, основываясь на
измерениях, допускаемых квантовой теорией. Мы рассмотрим этот вопрос,
руководствуясь идеями статистической теории оценивания.
Зададимся некоторой функцией отклонения №0(0), которая дает численную
меру отклонения наблюдавшегося значения 6 от истинного 6. Мы предположим,
что №0(0)- непрерывная функция своих аргументов, причем №0(0)3= ^W"0(0).
Естественно предположить также, что функция отклонения инвариантна:
Wge (gfl) = We (6); g^G; в, в е 0.
Для всех рассматриваемых нами групп существуют "естественные" функции
отклонения (например, квадратичное отклонение (0 - 0)2 для группы сдвигов
R). Примечательно, однако, что, как будет показано, конечный результат -
