Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем подробно построение этого представления в простейшем случае d =
2.
Вводя операторы оу = -jj- Jjy перепишем соотношения
(13.1) в виде
К, aa] = 2ta3, [о2, сг3] = 2ialt [а3, а1] = 2г'аа.
Полагая сг± = у (Oj ± кт2), получим
[сг3, а±] = ±2а±, [<т+, а_] = а3. (13.3)
Из первого соотношения вытекает, что если вектор ф является собственным
вектором эрмитова оператора сг3 с собственным значением X, то сг_ф будет
собственным вектором ст3 с собственным значением X - 1, а ст+ф -
собственным вектором с собственным значением X ф-1. В самом
168
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ [ГЛ. III
деле,
CT3CT_lj) = (- О- + ст_ст3) = (Я - 1) CT-ty
и аналогично для а+ф.
Учитывая двумерность представления и то, что ст+ = ст1, получим, что
операторы оу в базисе из собственных векторов оператора ст3 должны иметь
матрицы вида
Or, =
к О О к
о 1
-2J, СТ+ -
О р,
о о
<Т-= -
Е :]•
0 г 0 - г 1 0'
СТ1 - 4 о. > ^2 1 0 . о,= 0 - 1_
Из второго соотношения (13.3) вытекает Л, = J jet J2, Я - 2 = = - | jlaJ,
откуда Л, = 1, | р.| = 1,так что р = е'". Умножая второй из векторов
базиса на несущественный фазовый множитель, можно добиться, чтобы р=1,
так что
(13.4)
Матрицы (13.4) называются матрицами Паули; легко проверить, что они
удовлетворяют соотношениям
ст1ста = 2/ст3, ct2ct3 = 2"j1, a3a1 = 2ia2, (13.5)
более ограничителыыл, чем коммутационные соотношения (13.3). Всякая
эрмитова 2х2-матрица однозначно записывается в виде вещественной линейной
комбинации единичной матрицы и матриц Паули:
X = а/ + рах + уо2 + 6а3;
в частности, всякая матрица плотности представляется в виде
5 = y (/ + 01Щ + 02а2 + 03а3),
где 0i, 02, 03 - параметры Стокса (см. § 1.2). Наличие соотношений (13.5)
делает весьма удобными алгебраические вычисления с матрицами,
представленными в таком виде. В частности, для операторов представления
(13.2) получаем
U (/?) = ехр
Т 2 ф'а'
/=>
= 1 • cos j - i ^ ф/О/ф-1 sin Ф = Кф1 + ф1 + Фз- (13.6)
ПОНЯТИЕ СПИНА
169
Построенное двумерное представление является проективным и не может быть
сведено к унитарному, так как, например, для вращений на углы л и -л
вокруг оси е3 получаем соответственно операторы представления - io3 io3.
В случае произвольной размерности d - 2j-{-l введем операторы J0 = h~1J3,
J± = Ь,-1 (Ух ± ijt), удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Л, J±] = ±J±, [J+, J-] = 2J0.
Рассуждая как в двумерном случае, можно показать, что спектр оператора J0
состоит из чисел -/, -/4-1, ... ..., /-1. /• Обозначим {\т)}
ортонормированный базис из собственных векторов оператора J0, так что
J0\m) = = т | т), т. е.
1
Jo- S т\т)(т\• (13.7)
т = - /
Можно показать, что операторы J+ действуют в этом базисе по формулам
J+\m) = V(j -m)(j^-m-l)\m+ 1),
J-\ m) = V(j + m)(l - m+l)\m- 1),
из которых можно получить формулы для Jlt У2, а также для операторов
представления U (/?).
Неприводимые представления группы вращений принято нумеровать числом /,
связанным с размерностью соотношением j = (d - 1)/2. Таким образом, / -
0, 1/2, 1, 3/2, ... Представления, отвечающие целым значениям /,
унитарны, тогда как для полуцелых / представления являются существенно
проективными.
Теперь можно описать всевозможные неприводимые представления
кинематической группы для трехмерной частицы. Пусть K = (Dd - комплексное
унитарное пространство размерности d = 2j-{-l и i?^(R3) -пространство
вектор-функций д|)(1) на R3 со значениями в К и с интегрируемым квадратом
нормы
170
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
(ГЛ. И!
Будем рассматривать операторы U (R) как действующие в пространстве К,
тогда формула
Vx, "./г = ехр -у^ЬЧЯЖР-Ч!-*))
определяет неприводимое представление кинематической группы в =5^(|R3).
Подчеркнем, что здесь U (R) действует на компоненты вектора ф(|) в каждой
точке §.
Размерность пространства К (или число /), как и связанная с массой
постоянная ц = т/А, однозначно, с точностью до унитарной эквивалентности,
характеризует неприводимое представление, т. е. тип квантового объекта в
трех измерениях. Число j называется спином. Поскольку операторы Jk
удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и операторы
углового момента L*, их можно представлять себе как наблюдаемые некоего
"внутреннего" углового момента частицы. Если игнорировать внешние степени
свободы, то (чистое) состояние частицы со спином / будет описываться
вектором (2/+1)-мерного унитарного пространства К с действующим в нем
представлением группы вращений /?->-?/ (R). В частности, при /=1/2 мы
приходим к статистической модели частицы со спином 1/2, подробно
рассмотренной в § 1.5.
Обратимся еще раз к эксперименту, изображенному на рис. 5, и вычислим
теоретически вероятность Pout (in), используя теорию представлений. Пусть
S = | in) (in | - оператор плотности в двумерном унитарном пространстве
a/f\ описывающий состояние частицы после прохождения первого фильтра, Е =
| out) (out | -тест, описывающий второй фильтр. Если ф -угол между
направлениями двух фильтров, то первый фильтр можно перевести во второй
