Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
которых группа является однопараметрической (группа сдвигов интервала [О,
2л) по модулю 2л или группа сдвигов прямой) и любое нетривиальное
представление с необходимостью является приводимым. Отсутствие полной
классификации ковариантных измерений позволит в этом случае дать
частичное решение байесовской и минимаксных задач - лишь для семейств
чистых состояний.
Предположим, что установка, приготовляющая состояние микрообъекта,
поворачивается на угол ф, 0 sg ф < 2л, вокруг фиксированной оси, например
е3. Тогда состояние объекта описывается оператором плотности 5ф=Уф5Уф,
рде S -исходное состояние, - оператор представления
измерение угла поворота
201
группы вращений, отвечающий повороту на угол <р вокруг оси е3. Речь идет
об оценивании истинного значения параметра <р по результатам квантовых
измерений. Мы предположим, что пространственные степени свободы объекта
не рассматриваются и измерение затрагивает только спиновые степени
свободы. Тогда, согласно § III. 13, состояния описываются матрицами
плотности в гильбертовом пространстве конечной размерности d = 2/+l, где
/ - значение спина, и семейство состояний приобретает вид
S<p^=e-u4'SeiJ4'\ 0<;<р<2я. (6.1)
Здесь / - спиновый оператор углового момента относительно оси е3,
задаваемый диагональной матрицей в базисе из своих собственных векторов
{|/п)}:
/
/= 2 т\т)(т\,
т - -1
так что /1 т) = т | ш), еич | т) = etmф j ш); мы считаем % = 1.
Операторы Уф = е~и,р образуют представление однопараметрической группы
поворотов вокруг оси е3; измерения, ковариантные по отношению к
представлению ф -> Уц,, можно рассматривать как более или менее точные
измерения параметра угла поворота ф. Теорема 2.1 позволяет описать
ковариантные измерения. Согласно этой теореме, всякое ковариантное
измерение имеет вид
М(ёц>) = е-1^Р^^,
где Р0 - оператор, принадлежащий выпуклому множеству ф. Поскольку
стационарная подгруппа G0 в этом случае тривиальна, условие 1) отпадает.
Рассмотрим условие нормировки ^ /И (</ф) = I. Пусть ртт' =• (т | Р0 \
т')\ тогда
(т | М (dq>) | т') = е' <"'-"*> фрят- g. (6.2)
Интегрируя по ф и используя условие нормировки §Л1(^ф)=1, получаем
ряя="1. Таким образом, всякое ковариантное измерение задается матричными
элементами
202
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. IV
[6.2), где матрица [ртт'] принадлежит выпуклому множеству
•Р " {[Ряня']' \Ртт'\ ^ 0, Pmm513!}-
Если бы удалось охарактеризовать крайние точки этого множества, то мы
получили бы описание крайних точек множества ковариантных измерений.
Легко показать, что всякая матрица вида [утут'\ где | ут | = 1, является
крайней точкой $. Для доказательства достаточно заметить, что множество
матриц вида еНР, где Р е ф, является выпуклым подмножеством множества
всех матриц плотности, а матрицы вида eH[ymym'] являются матрицами
некоторых одномерных проекторов, т. е. крайними точками множества всех
матриц плотности. Соответствующее измерение имеет матричное представление
(пг | М (dtp) | m') = ef <m'~m> ч>утут' (6.3)
Оказывается, что таких измерений достаточно для оценивания параметра ср в
семействе чистых состояний
S<p = е~и<р | г])) (гр) еиЧ", 0^ф<2л.
Положим фт = (т|ф); если грт = 0, то символ фт/[г|)т| обозначает
произвольное комплексное число, равное по модулю единице.
Теорема 6.1. Ковариантное измерение
(6.4)
является оптимальным при любой функции отклонения W* (ф) =* W (ф - ф),
где W (•) - четная 2п-периодичная непрерывная функция такая, что
2л
j Ц7(ф)со8Аф^ф^0, Л=1, 2, ... (6.6)
Заметим, что всякая функция, удовлетворяющая условию теоремы, разлагается
в ряд Фурье
ОО
W (ф) =" w0 - 2 wk cos fop, где 3* 0; k = 1, 2, ..., (6.6)
А" 1
"6]
ИЗМЕРЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА
203
так что, например, W (ф) = 4 sin2 у = 2 (1 - cos ф) охватывается
условиями теоремы. Формально этим условиям удовлетворяет и обобщенная
функция
СО
- 6 (ф (mod 2л)) = - ^ J cos k(P>
А=1
которой соответствует измерение максимального правдоподобия. На самом
деле доказательство теоремы позво-
min {p,2ir-p}
sin
V
Рис. 12.
ляет охватить любые периодические обобщенные функции с В качестве
других примеров приведем
min {ф, 2л -ф}:
я
2
12
cos (2k-j- 1) ф (2k + 1 )2 '
0^ф<2л;
sm-
2^
я
4
я
cos kcp Ш-\
i = l
(рис. 12). Квадратичное отклонение min {ф2, (2л - ф)3}
'+42
(-1)*
№
cos kq>, 0 < ф < 2л, в этот класс не
попадает.
Нетрудно дать абстрактную характеристику функций, удовлетворяющих условию
(6.5). Заметим, что wa - W (<р), - оо <ф< оо, является преобразованием
Фурье четной неотрицательной меры, сосредоточенной в целочисленных
точках, и, следовательно, является положительно определенной функцией.
Отсюда следует, что 2я-периодичная непрерывная функция W (•)
удовлетворяет условию (6.5)
204
КОВАРИАНТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ TV
тогда и только тогда, когда для любых комплексных Cj таких, что =
выполняется /
фА) CjCh < 0
/. *
для любых фf.
Теорема 6.1 показывает, что оптимальное измерение
(6.4) обладает весьма желательным свойством: оно нечувствительно к выбору
