Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории - Холево А.С.
Скачать (прямая ссылка):
вращением /?",ф вокруг соответствующей оси п. Не ограничивая общности,
можно принять, что | in) = ^ формулы (13.6) тогда следует
Pout (in) = Тг SE = | (in | out) |2 = cos2 ф/2,
т. e. выражение для условной вероятности прохождения через второй фильтр,
использованное в § 1.5.
Остается объяснить, почему взаимодействие с внешним магнитным полем
приводит к расщеплению пучка частиц в эксперименте Штерна - Герлаха. В
отсутствие внешнего
Из
КОММЕНТАРИИ
171
поля все пространственные направления равноправны, поэтому любому
состоянию гр е отвечает одно и то же значение энергии, определяемое
внешними степенями свободы. Поскольку мы условились их игнорировать, то
можно принять, что эта энергия равна нулю. Включение внешнего поля
нарушает симметрию; гамильтониан, описывающий поведение спина во внешнем
магнитном поле В = [Въ В2, В3], имеет вид
Н - - А. (cr1B1 -f <J2B2 + о3В3).
Мы не имеем здесь возможности вывести эту формулу и только заметим, что,
как и должно быть, этот гамильтониан инвариантен относительно поворотов
вокруг оси В, т. е. [Я, U (/?)] = О для любого поворота /? вокруг В. Не
ограничивая общности, можно считать, что В = [О, О, В\ Тогда Я = - ХВа3 и
мы видим, что Я имеет два собственных значения ± КВ. Таким образом,
вместо состояний с одинаковой энергией е" получилось два состояния с
энергиями е0±ХВ. Частицы с разными энергиями по-разному отклоняются
неоднородным магнитным полем, что и приводит к расщеплению пучка в
эксперименте Штерна - Герлаха.
Это рассуждение дает предельно упрощенное представление о том, каким
образом квантовая теория может объяснить структуру энергетических
уровней, опираясь по существу лишь на свойства симметрии. Рассмотрение
более сложных моделей требует более детального знакомства с теорией
представлений и приближенными методами квантовой механики и выходит за
рамки этой книги.
Комментарии к гл. III
§ 1. Значение групп симметрий для квантовой теории хорошо известно (см.,
например, Вейль [24], Вигнер [26]). Идея применения теории представлений
для классификации квантовых частиц принадлежит Вигнеру [25], который
рассмотрел случай релятивистской группы Пуанкаре (неоднородной группы
Лоренца); в этой связи см. также Боголюбов, Логунов, Тодоров [14],
Варадарайан [23], Гельфанд, Минлос, Шапиро [32], Широков [131].
Классификацию нерелятивистских квантовых "частиц" в терминах
представлений группы Галилея осуществили Инёню и Вигнер [44] и Баргман
[4], который развил общую теорию проективных представлений. Подробное
обсуждение читатель найдет в книге Яуха [134]. Доступное введение в
теорию симметрии элементарных частиц можно найти в лекциях Боголюбова
[13].
172
СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. ш
Особо важную роль в квантовой теории играют динамические симметрии, т. е.
симметрии гамильтониана, связанные с законами сохранения. О динамических
симметриях в квантовой механике см. Малкин и Манько [136].
По поводу теоремы Вигнера см. Баргман [6], Варадарайан [22], Кэдисон
[58], Хунцикер [126].
Для описания нестабильных квантовых объектов могут быть привлечены
полугруппы Пуанкаре и Г али лея, содержащие только положительно-временные
сдвиги (см. Цванцигер [127], Ланц и др. [59]). Введение полугруппы вместо
группы можно мотивировать тем, что в общем описании эксперимента
измерение следует за приготовлением и поэтому не может быть перенесено на
произвольный более ранний момент времени.
§ 2. Неравенство Мандельштама - Тамма получено в работе [68]. Чтобы
получить из него соотношение неопределенностей "время - энергия", авторы
вводят "стандартное время" At, определяемое соот-
ношением Е^д, (X)-E,(X) = ^j ^ DT(X) dt. Интегрирование не-
t
равенства тогда дает At • АН ;э= 1/2, где АН = Y^>t (Н). Фок и Крылов
[57] указали, однако, что такое неравенство не может рассматриваться как
аналог обычного соотношения неопределенностей "координата- импульс",
поскольку "стандартное время" не является атрибутом какой-либо
измерительной процедуры; в определении At величины Et (X), Dt (X);
t^t^t+At, не могут быть получены из одного "ансамбля" микрообъектов, так
как измерение величины X в момент t меняет состояние и делает непригодным
уравнение свободной эволюции (2.2). От этих трудностей свободна
интерпретация соотношения (2.7), использующая понятие несмещенного
измерения, аналогичное несмещенным оценкам в классической статистике. Эта
интерпретация была дана Хелстромом [108], [109], который независимо
получил неравенство Мандельштама -Тамма в контексте квантовой теории
оценивания. Относительно других подходов см., например, Экстейн и Сигерт
[132], Вигнер [27], Малкин, Манько [136].
§ 3. Предложение 3.1 является частным случаем теоремы, описывающей общий
вид мультипликатора со (g2, gi) на аддитивной группе [Rd (см., Баргман
[4], Яух [134], Варадарайан [23]).
§ 4. Обсуждение "локализуемости" квантовомеханических объектов,
основанное на соотношениях типа (4.3) проводится в книге Яуха [134], где,
