Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
c?A* + c;A*+cfJV = 0- (12 86)
Если наборы констант ^ и р<2) удовлетворяют условиям (12 86), то константы
P,; = “lP(W)+a2P?i (12 87>
также будут удовлетворять условиям (12 86) Таким образом, допустимые наборы констант рг; образуют векторы в некотором веще-
§ 3. Проективные представления групп Ли
557
ственном векторном пространстве размерности, меньшей или равной п(п—1)/2. Все проективные представления (12.82) будут эквивалентны векторным представлениям, если допустимые наборы констант Р(-у- эквивалентны нулевому вектору, т. е. в том случае, если размерность векторного пространства наборов констант равна нулю.
Рассмотрим сначала несколько простых примеров. Все структурные константы с*. для «-параметрической абелевой группы равны
^ У
нулю. Инфинитезимальные операторы удовлетворяют соотношениям
[Xh Xj[ = Q (г, j = 1............п). (12.88)
Соответствующие соотношения (12.82) для операторов представления имеют вид
г [Ог, D,-] = рг7 ¦ 1. (12.89)
Поскольку структурные константы обратились в нуль, равенство
(12.86) не налагает никаких ограничений на константы ргу-. Размерность векторного пространства наборов константну равна п{п—1)/2. Любой вектор f>,-у может входить в соотношение (12.89). Константы, отличающиеся от данной константы множителем, равным целому положительному числу, соответствуют эквивалентным представлениям, так как
i[mDt, mDj\ = • 1, (12.90)
и эрмитов оператор mDt будет задавать конечные преобразования
imtiD,
Є *,
откуда следует, что представления отличаются лишь изменением мае-штаба по переменной 0. Векторным представлениям соответствует
ТОЛЬКО нулевой вектор Р/у = 0.
Для группы вращений в случае трех измерений эрмитов оператор момента количества движения удовлетворяет соотношениям
і [Jjc, Jy 1 = ^г + Рг ¦ г [-V ^
i[Jz, Jx]=Jy + ?y. 1. (12.91)
Величины р эквивалентны нулю, так как преобразование (12.83)
J'=J -f р -1
5 S ' г s
приводит соотношения (12.91) к виду
= l[j'y.j'z\ = j'x. i[j'z,jx] = jy- (12.92)
Таким образом, мы получаем еще одно доказательство того, что все
проективные представления трехмерной группы вращения эквивалентны векторным представлениям.
558 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Вместо того чтобы рассматривать величины мы можем ввести некоторую функцию, определенную для всех элементов алгебры Ли. Элементы алгебры Ли являются линейными комбинациями с вещественными коэффициентами базисных элементов Xt
a = amXm, b = bmXm, (12.93)
а операторы представления, соответствующие згим элементам, имеют вид
A = amDm, В = bmDm. (12.94)
Для элементов а и b соотношение (12.80) записывается в виде
= (12.95)
соотношение (12.82) приводит к равенствам
ЦА, B] = c^malbmDk+^lmalbm- 1 ^c^afimDk +F(a, ft). 1, (12.96)
где
F (a, b) = plmalbm = — F (b, a). (12.97)
В частности, если
a = X l и b = X j,
TO
F(X„ Xj) = hj. (12.98)
Если операторы Dm заменить эквивалентными операторами
Dm = Dm-\-am • 1,
то операторы А и В, определяемые (12.94), изменятся соответствующим образом. Равенство (12.96) будет иметь вид
ЦАГ, Я'] = с?яМвО'+[/г(ві Ь)—ак*1тарту 1 =
= cLafimD'k + F'(d, ft). 1, (12.99)
где
F'(a, b) = F(a, b) - а^аfiт. (12.100)
Переход от одного представления к другому представлению, эквивалентному ему, описывается переходом от F (а, Ь) к F' (а, Ь), где ак — произвольные вещественные константы. Если эти константы ak можно выбрать так, чтобы F'(а, Ь) = 0 для всех а и ft, то представление будет эквивалентно векторному представлению.
Выражение (12.100) можно упростить следующим образом. Рассмотрим линейную функцию А, определенную на алгебре Ли так, что
А(ХІ) = аі. (12.101)
Тогда
А (в) = 0,0,. (12.102)
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 559
Воспользовавшись соотношениями коммутации (12.95), получим
Л ([a, b)) = akcklmapm. (12.103)
Сравнивая с (12.100), имеем
' F'(a, b) — F (а, Ь) — А([а, Ь]). (12.104)
Таким образом, две системы показателей будут эквивалентны, если
разность между соответствующими функциями F' (а, Ь) и F (а, Ь)
есть линейная функция от коммутатора [а, Ь\.
Условия, налагаемые на функцию F, соответствующие условиям
(12.86), мы найдем, записав тождество Якоби
[А, [В, С] ] + [В, [С, А] ] + [С, [А, В] ] = 0
и воспользовавшись соотношениями коммутации (12.96). Результат имеет вид
F(a, lb, C]) + F(b, [с, а] ) + /=¦(<:, [а, й]) = 0. (12.105)
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп
Вещественные однородные линейные преобразования, которые
оставляют инвариантной вещественную невырожденную квадратичную форму относительно п вещественных переменных Xt (г = 1, .... п),
F(x) = gikxtxk (glk = gkl), (12.106)
называются псевдо-ортогональными преобразованиями. Подходящей заменой базиса форму F можно привести к главным осям:
/ух) = І X] - J}+1 X) = е. bikxiXk, (12.107)
Є, = +1 при і=\.................
— —1 при 1= /7 + 1, ..., П.
Группа псевдо-ортогональных преобразований W
х' = Wx, x't=wtkxk (г= 1...................п), (12.108)
оставляющих инвариантной форму Fp, обозначается Орп: Из (12.107)
