Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
rt = Vi+v2+ ... +vm (v,>v2> ... > vm > 0). (12.47)
Разбиению (12.47) соответствует неприводимое представление раз-
где [(«—т)/2] означает наибольшее из целых чисел, не превышающих (п — т)/2 [целую часть числа (п — т)/2]. При п = 4 имеем два новых неприводимых представления размерности /4 = 2 и /3 ,=4. При п~ 4 соотношения (12.46а) записываются в виде
C\ = cl = cl= 1, (CxC2f = (С2С3)3 = 1, С,С3= -СзС,. (12.49)
или
В\ = -1, ВД+1)3 = -1, BrBs = -BsBn (12.46)
С?= 1, (Cfj+lf= 1, CrCs = -CsCr. (12.46а)
трицы умножить на У—1 , то получившиеся при этом матрицы
мерности
Представление размерности 2 получится, если положить
где
—матрицы Паули.
§ 3. Проективные представления групп Ли
549
За -полной теорией мы отсылаем читателя к третьей статье Шура, содержащей много замечательных результатов, позднее переоткрытых заново независимо от него.
Задача. Предположив при л = 4 существование неприводимого двумерного представления (12.46а), докажите, что оно имеет вид (12.50).
§ 3. Проективные представления групп Ли
Состояния квантовомеханической системы описываются единичными векторами i|) в гильбертовом пространстве. [Для гильбертова пространства задано скалярное произведение (ф, ф), причем это произведение положительно определено, Т. е. ||ф||=(ф, ф) > 0 для любого ненулевого вектора в таком пространстве. В частности, [)ф||=1 для единичных векторов ф.] Каждому единичному вектору ф соответствует единственное физическое состояние системы. Обратное неверно. Данное физическое состояние описывается любым вектором из набора 'Р единичных векторов єф, где є — комплексное число и |є| = 1. Взаимнооднозначное соответствие существует между физическими состояниями и лучами 'Р. Любой вектор, лежащий на луче 'Р, может служить представителем этого луча.
Вероятность перехода между физическими состояниями, соответствующими лучам Ф и 'Р, задается величиной |(ф, ф)|2, где ф—любой вектор, принадлежащий лучу Ф, а ф — любой вектор, принадлежащий лучу 'Р. Поэтому мы можем задать скалярное произведение лучей, которое не будет зависеть от конкретного выбора векторов ф и ф:
(Ф, Ч0 = |(ф, 40|; (12.51)
вектор ф принадлежит Ф, вектор ф принадлежит 'Р.
Каждому преобразованию, входящему в группу симметрии физической системы, соответствует некоторое взаимно однозначное отображение множества состояний этой системы на себя. Каждый луч 'Р отображается в какой-то луч 'Р':
Ч^Ч". (12.52)
Поскольку новое описание должно приводить к тем же результатам наблюдений, что и первоначальное, при таком отображении сохраняются вероятности переходов
|(Ф', Ч")|2 = |(Ф, *P)|2. (12.53)
Замечательный результат, впервые полученный Вигнером, состоит в том, что соответствие между лучами (12.52) всегда можно заменить некоторым соответствием между векторами: на лучах Y и 'Р' можно
550 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
выбрать представляющие их векторы ф и ф' так, чтобы отображение, переводящее вектор ф В ф',
ф->ф' = ?/ф, (12.54)
удовлетворяло условию
і/(ф + ф) = ^ф-Ь^ф, (12.55)
и, кроме того, либо условию
а) (U(f, ?/ф) = (ф, ф), (12.56а)
либо условию
б) (?Лр, ?/ф) = (ф, ф). (12.566)
Иначе говоря, отображение лучей можно заменить аддитивной опера-
цией, определенной на векторах гильбертова пространства. Здесь могут представиться два взаимоисключающих случая. Оператор U является либо „а“ линейным и унитарным, либо „б“—линейным и антиунитар-ным. Причин для выбора a priori одной из двух альтернатив „а“ или „б“ не существует.
Оператор U пока еще не определен однозначно, поскольку умножение на произвольный фазовый множитель є не изменяет предыдущих результатов. Поэтому оператор U можно рассматривать как
представителя луча операторов гіі. Такого представителя U мы можем выбрать любым удобным для нас способом.
Если г и s — два элемента группы симметрии О квантовомеханической системы, то каждому из них мы ставим в соответствие некоторый оператор U(г) и U(s). Произведению этих элементов rs, которое также принадлежит группе О, будет соответствовать оператор U(rs). Однако те требования, которые были наложены выше, приводят лишь к соотношению
U(г) U(s) = (о(л, s) U(rs), (12.57)
где |(о| = 1 и фазовый множитель (о зависит от элементов г и s группы О. Соотношение (12.57) совпадает с (12.6), которое определяло проективные представления конечных групп.
Мы хотим теперь рассмотреть непрерывные группы и, в частности, группы Ли. В гл. 8 мы показали, что пространство параметров группы Ли в общем случае состоит из нескольких несвязных частей, одна из которых содержит единичный элемент е группы О. Можно доказать, что для элементов г группы О, принадлежащих той же части, что и единичный элемент е (т. е. для таких элементов, которых можно достичь, идя по непрерывному пути из е), имеет место лишь альтернатива „а“ в равенстве (12.56), в силу чего оператор U(г) — унитарный. Элемент г, принадлежащий любой окрестности единицы е, можно
§ 3. Проективные Представления групп Ли
551
записать в виде квадрата некоторого элемента s, т. е. r — s2. Из (12.57) следует
