Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
542 Глава 12. П роективные представления. Малые группы
получим
= (12.23)
RS
Если константы сА в равенстве (12.20) выбрать так, чтобы cA = d~'/H (т. е. чтобы константа сА была бы одним из h решений уравнения cAh = dAy то из системы множителей (Од s можно получить эквивалентную систему
м' — Cr°S М “я, S — ~С S’
RS
для которой, согласно (12.23),
K,s)*=1- <12-24)
Таким образом, класс эквивалентных систем множителей должен содержать систему множителей, у которой Л2 величин (Й4 s являются корнями h-й степени из единицы. Поэтому число классов не может превышать числа hH\ из чего следует, что число классов конечно.
Обозначим m классов через К0, К\........... Km-i’ причем К0 —
класс, содержащий систему множителей (о^іВ^1. Если системы множителей и со^)д являются решениями уравнений (12.11) и
принадлежат классам Кх и Кц, то их произведения также
будут удовлетворять (12.11). Класс Kv, к которому принадлежит это новое решение, не зависит от конкретного выбора решений со^)д и соМд в классах Кх и К , а определяется самими классами. Это обстоятельство мы записываем в виде
и замечаем, что
K»K}=K}K^ = KV.
Тем самым мы определили умножение классов, причем оно оказалось коммутативным. Кроме того, легко видеть, что если
*«Лр=*«Лг
ТО
кр = ку.
Класс KQ служит единичным элементом. Наконец, очевидно, что такое
умножение классов ассоциативно, и поэтому классы К0, К\........^m-i
образуют абелеву группу порядка т, которая называется мультипликатором группы Н.
Шур развил общие методы нахождения мультипликатора и построения неприводимых проективных представлений обширных клас-
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп
543
сов конечных групп. Доказательство Шура слишком длинно, чтобы
его можно было привести здесь. Вместо этого мы проиллюстрируем
его метод в некоторых простых случаях.
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп
Циклическую группу, порожденную элементом А порядка п,
А° = Е, А, А2........Ап-\
можно задать с помощью определяющего отношения
Ап = Е. (12.25)
Для проективного представления матрица D (Л) должна удовлетворять условию
[D (Л)]л = col. (12.26)
Если вместо матрицы D(Л) взять матрицу
D'(A) = a-l/nD (Л),
мы получим векторное представление
D'(Am) = [D'(A)]m.
Таким образом, в случае циклических групп мультипликатор состоит из единичного элемента К0, и все проективные представления эквивалентны обычным векторным представлениям. Все неприводимые представления одномерны.
Пусть абелева группа Н есть прямое произведение двух циклических групп, порожденных элементами Л порядка п и В порядка п’ соответственно. Определяющие отношения, характеризующие группу, имеют вид
Ап = Е, Вп — Е, АВ — В А. (12.27)
Матрицы представления будут удовлетворять равенствам
[D(A)\n = a\, [D (В)\п’ =b\, D(A)D(B) — cD(B)D(A), (12.28)
с константами а, Ь, с. Константы а и b можно включить в матрицы D(A) и D(B). Тогда у нас останется только последняя константа в равенствах (12.28)—константа с. Так как матрицы D (Л) и D(B) входят в обе части последнего из уравнений (12.28), то константа с не может измениться при изменении этих матриц. Однако мы должны найти, какие ограничения накладывают на константу с условия (12.28). Умножив последнее уравнение справа на D{B). получим
D (Л) [D ОВ)]2 = cD (В) [D (Л) D (5)] = с2 [D (В)]2 D (Л).
544 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Повторяя этот процесс еще раз, находим
D (Л) [D (В)]3 = с3 [D (В)]3 D (Л)
и, наконец,
/ / /
D (Л) [D (В)]п = сп [D (В)]п D (Л),
или
(12.29)
Точно так же, умножая повторно слева на D (Л), будем иметь
Таким образом, константа с должна быть одновременно и корнем п-й степени из единицы и корнем п'-й степени из единицы. Если d — наибольший общий делитель чисел п и п',то она должна удовлетворять соотношению
cd= 1. (12.296)
Если числа пап' взаимно простые, то d = 1, а в силу этого и с=1, В этом случае все представления эквивалентны векторному представлению и все неприводимые представления одномерны. Так, например, происходит в случае, когда п = 3, а п' = 2.
Если п=п'= 2, мы получаем четверную группу Клейна
Приведенное выше рассуждение показывает, что с2= 1, с= ±1. При с=-|-1 операторы удовлетворяют соотношениям
[D(A)]2=[D(B)\2=1, D(A)D(B) = D(B)D(A), (12.31)
и мы получаем обычные одномерные неприводимые представления. Если же с = —1, имеем
[?>(Л)]2=[?>(Д)]2=1, D(A)D(B) = —D(B)D{A). (12.32)
Квадраты матриц D(A), D(B) и D(C) равны единичной матрице, сами матрицы антикоммутируют друг с другом. Неприводимое представление задается матрицами Паули.
(12.29а)
Л2 = Е, В2 = Е, С = АВ = В А.
(12.30)
Если выберем
то
D (С) = ID (Л) D (В),
[D (С)]2 = — [D (Л) D (5)] [D (Л) D (5)] = = [D(A)D(B)] [D (B)D(A)] = 1.
Задача, Докажите, что размерность неприводимого представления в случае (12.32) равна двум.
§ 2. Примеры проективных представлений конечных групп 545
Группы диэдра Dn порождаются двумя элементами А и S, удовлетворяющими соотношениям
Ап = Е, S2 = E, SAS = А~\ (12.33)
Обозначим матрицы представления, соответствующие элементам А и S, через В а Т. Эти матрицы удовлетворяют соотношениям
