Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
= F(grhaih• [в/г. akl\) + F(grhaln lahp akl\)
Подставляя вместо коммутаторов их выражения из равенств (12 121), получаем
(п —2) F(atj, akl) = grh {grkF(aJh, ай) — gikF (ajh, ar,) +
+ gilF(ajk' ark) — grlF iaJh’ aik) +
+ gjkF(air- ahl)—ghkF(air, an) +
+ ghlF (atr< ajk) — gjlF (air> ahk)\-
Слагаемые, стоящие на первом и седьмом, а также на четвертом и шестом местах, взаимно уничтожаются, после чего остается варажение
Kn — 2)F(aij, akl) = g]kF(grhain ahl) - gikF(grha]h, arl) +
+ guF(grhajh> ark)--gjiF(grhair> ahk)• (12.127)
564 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
Зададим на алгебре Ли линейную функцию, полагая
= аы). (12.128)
Тогда, согласно равенству (12.121),
(п - - 2) F (аф аы) = g jk A (аа) — gik A (а;і) + gu A (ajk)~gnA (a!k) = = A([e„, akl\). (12.129)
Таким образом, F(atj, аы) есть линейная функция от коммутатора [atj, akl) и поэтому тождественно равна нулю.
Далее мы рассмотрим неоднородные группы 1рп при п > 2. Прежде
всего воспользуемся соотношением (12.126), чтобы преобразовать
выражение для функции F (а^, bk).
(n—\)F(au, bk) = ghlF(aiJ, [akl, bh\) =
— Sm [ai)' )-\-F(akl, bh])_
Затем воспользуемся равенствами (12.121) и (12.124) и представим те коммутаторы, которые встречаются в качестве аргументов функции F, в виде линейных комбинаций соответствующих элементов:
(д — 1) F (aip bk) = ghl {gJkF (atl, bh) — gikF (ajb bh) +
+ SnF (ajk, bh) — gj[F (aik, ?л) +
+ gihF(akl, bj)—g;hF(akl, bj)}.
Слагаемые, стоящие на третьем и пятом, а также на четвертом и
шестом местах, взаимно уничтожаются, после чего остается выражение
(п— \)F(atj, bk) = gjkF(ghiail, bh)—gikF(ghlan, bh). (12.130)
Если мы зададим линейную функцию Л для базисных элементов Ь{ так, что
Л-(Ь,) = ghlF(an, b^), (12.131)
то из равенства (12.124) получим
(n-\)F(aip bk) = gjkA(bi)-gikA(bj) = A([ai], bk\). (12.132)
Поскольку bk) есть линейная функция or коммутатора [atjt bk],
имеем
P(atJ. bk) = 0.
Наконец, мы должны показать, что
F (bt, bj) = 0.
Линейная функция А уже задана формулами (12.128) и (12.131), поэтому мы можем лишо проверить, выполняется ли соотношение
§ 4. Проективные представления псевдо-ортогональных групп 565
F(bh bj) 0 или нет. Воспользуемся соотношением коммутации
(12.124) и преобразуем функцию F(bt, bj)'.
(n—\)F(b;, b;) = ghkF([aih, bk\, bj) =
= Shk bj], bk) -)- F([bp bk], аІІг)}.
Слагаемое, стоящее на втором месте, равно нулю, так как [bj, &*.] = (). Воспользуемся соотношением коммутации (12.124) для слагаемого, стоящего на первом месте, и получим
(п — 1) F (Ь0 Ь;) = ghk {ghJF (bh bk) — gijF (bh, bk)) =
= F(bt, bl)-gijghkF(bh, bk) = F(bb bj)
\ghkF(bh, bk) = 0, так как этот член есть произведение симметричного множителя ghk и антисимметричного множителя F (bh, b$\. Таким образом,
(n — 2)F(bl, bj) — 0,
и при п > 2
F(b; bj) = 0. (12.133)
Мы показали, что при п > 2 все проективные представления группы 1рп эквивалентны векторным представлениям. Так же как и в случае группы вращения, представления могут быть многозначными. При п = 2 алгебра Ли группы /? определяется соотношениями
1а12< ^ll = е1^2>
1а12< ^2І = Є2^1> (12.134)
[^i, b2] = 0.
Тождество Якоби в этом частном случае не дает ничего нового. Если операторы представления обозначить Аи, Вх и В2, то их коммутаторы запишутся в виде
1[Аи, Вх\ = — гхВ2Л-$' •!>
і [А\2> ^2І = е2^1 ~t“ (12.135)
t[Bu Я2]=р- 1,
где р, р', р" — вещественные константы. Воспользуемся изменением фазы (12.83) и введем операторы
В[ = В1 + ^-- 1, В2 = В2 — ^--\, (12.136)
Є2 Єі
тогда
l[AX2, В[\ = -гхВ'г /[л12, B2\^t2Bv (12.137)
566 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
однако в равенстве
і \в[, ?2] = р • 1 (12.138)
еще остается произвольная константа р. Итак, при п — 2 существует одномерное многообразие неэквивалентных проективных представлений. В случае р = 0 мы получаем векторные представления группы /f-
§ 5. Проективные представления галилеевой группы
Галилеева группа О — это группа преобразований, с помощью которой осуществляется переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Такие системы отсчета можно получать друг из друга путем параллельного переноса, сдвига по времени, поворота в пространстве. Наконец, они могут двигаться с постоянной скоростью друг относительно друга. Таким образом, преобразования Галилея изменяют радиус-вектор х на радиус-вектор х' и время t на время t', где
x' = Wx+\t + u, (12.139)
t' = t + т.
В формулах (12.139) W означает собственное ортогональное преобразование в трехмерном пространстве, v — вектор скорости (постоянный), и— вектор, описывающий параллельный перенос системы координат, и т — сдвиг по времени. Чистыми преобразованиями Галилея называются преобразования вида
*'= *+'"• (12.140)
t' = t.
Поскольку вращения W описываются тремя параметрами, вектор v — тремя параметрами, вектор и—тремя параметрами и сдвиг по времени т—одним параметром, то группа Галилея О есть Ю-парамет-рическая группа Ли. Если обозначить элемент группы О, задаваемой (12.139), через (№, t, v, и), то закон группового умножения запишется в виде
